专题10 圆锥曲线中的向量问题-2021年新高考数学圆锥曲线专项练习

圆锥曲线中的向量问题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．已知椭圆（）的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为，直线与椭圆交于、两点，为坐标原点． （1）求椭圆的方程； （2）若为椭圆的上顶点，为中点，连接并延长交椭圆于，，求实数的值； （3）若直线与圆相切，且，当时，求的面积的取值范围． 2．如图，已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点． （1）若，求椭圆的离心率． （2）若椭圆的焦距为2，且，求椭圆的方程． 3．椭圆的左项点为，左焦点为，下顶点为，上顶点为，若，. （1）求和的值. （2）纵截距为2的动直线与椭圆交于，两点，设，其中为坐标原点，是否存在直线使得点也在椭圆上?若存在，试确定的方程；若不存在，请说明理由. 4．已知离心率为的椭圆的上顶点为，右焦点为，点且. （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于、两点（在与之间），与直线交于点.记，，求的值. 5．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线被椭圆和圆截得的弦长分别为2和. （1）求的标准方程； （2）已知动直线与抛物线：相切（切点异于原点），且与椭圆相交于，两点，问：椭圆上是否存在点，使得，若存在求出满足条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由. 6．已知，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． （1）若，点在椭圆上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围； （2）若过点，射线与椭圆交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时直线斜率；若不能，说明理由． 7．已知抛物线，过抛物线的焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，. （1）求抛物线的方程，并求其焦点的坐标和准线的方程； （2）过抛物线的焦点的直线与抛物线交于不同的两点，直线与准线交于点.连接，过点作的垂线与准线交于点.求证：三点共线. 8．已知椭圆：的两个焦点为，，焦距为，直线：与椭圆相交于，两点，为弦的中点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线：与椭圆相交于不同的两点，，，若（为坐标原点），求的取值范围. 9．已知、分别为椭圆:的上、下焦点，其中也是抛物线的焦点，点是与在第二象限的交点，且. （1）求椭圆的方程; （2）已知点和圆:，过点的动直线与圆相交于不同的两点，在线段上取一点，满足:，，(且).求证:点总在某定直线上. 10．已知点E（﹣2，0），椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点F（2，0），过F的直线l交椭圆C交于A，B两点，△ABE的周长为12. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l交y轴于点N，已知＝m，＝n，求m+n的值. 11．等腰直角△内接于抛物线()，其中为抛物线的顶点，，△的面积是16. （1）求抛物线的方程； （2）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于､两点，交轴于点，若，，证明：是一个定值. 12．已知动圆与圆：外切且与轴相切. （1）求圆心的轨迹的方程； （2）过作斜率为的直线交曲线于，两点， ①若，求直线的方程； ②过，两点分别作曲线的切线，，求证：，的交点恒在一条定直线上. 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．（1）；（2）；（3）． 【分析】 （1）记椭圆的焦距为，先根据已知条件可求出、的值，进而可得出的值，进而可求出椭圆的标准方程； 先得出直线的方程为，将直线的方程代入椭圆方程可求出点的坐标，利用中点坐标公式可得出点的坐标，根据已知条件可得出点的坐标，再将点的坐标代入椭圆的方程，即可求出的值； 利用原点到直线的距离可得出，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，将韦达定理代入，结合的取值范围可得出的取值范围，并求出线段的长度的表达式，可求出的取值范围，再利用三角形的面积公式，表示出，进而可求出结果． 【详解】 （1）记椭圆的焦距为，由题意可知，，于是得到， 因为右顶点到左焦点的距离为，所以，则， 因此，椭圆的方程为； 当点为椭圆的上顶点时，点的坐标为，则，直线的方程为， 将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，解得，， 所以点的坐标为， 由于点为线段的中点，则点的坐标为， 由于，所以，点的坐标为， 将点的坐标代入椭圆的方程得，化简得，解得； 由于直线与圆相切，则有，所以． 设点、，将直线的方程代入椭圆方程并化简得， 由韦达定理可得，， ， 由于，即，解得， 线段的长为 ， 所以． 因此的面积的取值范围是． 【点睛】 思路点睛： 求解圆锥曲线中三角形面积的最值或取值范围时，一般需要先联立直线与曲线方程，结合韦达定理，以及三角形面积公式，表示出三角形面积，利用函数的性质，或基本不等式求出面积的最值或取值范围即可. 2．（1）；（2）． 【分析】 （1）由题可得是等腰直角三角形，可得，即可求出离心率； （2