专题07 双曲线中的离心率问题-2021年新高考数学圆锥曲线专项练习

双曲线中的离心率问题 1．若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角， ，其中分别是的斜率，已知双曲线： 的右焦点为， 是右顶点， 是直线上的一点， 是双曲线的离心率， ，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．，是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 4．已知双曲线的左，右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线的离心率e的最大值为（ ） A． B． C． D． 5．设为椭圆与双曲线的公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点是以线段为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率，则椭圆的离心率取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知是椭圆和双曲线的一个交点，是椭圆和双曲线的公共焦点， 分别为椭圆和双曲线的离心率, ，则的最小值为( ) A． B． C． D． 7．双曲线的焦点是，，若双曲线上存在点，使是有一个内角为的等腰三角形，则的离心率是（ ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的离心率，且双曲线的渐近线与圆相切，则的最大值为( ) A．3 B． C．2 D． 9．已知离心率为的双曲线C：的一个顶点为，直线轴，交双曲线于，两点，则取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．如图，，分别是双曲线的左、右焦点，点是双曲线与圆在第二象限的一个交点，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．已知双曲线，过其右焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A、B两点，若双曲线的左焦点在以AB为直径的圆上，则双曲线的离心率的值为（ ） A． B． C． D． 12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，若双曲线右支上存在一点，使得关于直线的对称点恰在轴上，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 13．已知双曲线的右焦点为，直线与交于，两点，以为直径的圆过点，若上存在点满足，则的离心率为（ ） A． B． C． D． 14．设双曲线的左焦点为F，直线过点F且与双曲线C在第一象限的交点为P，O为坐标原点，，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C．2 D． 15．设为双曲线：的左焦点，为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与交于两点.若，则的离心率取值范围为（ ） A． B． C． D． 16．定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过的正角.已知双曲线：，当其离心率时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 17．已知双曲线的离心率为，是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 18．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是上一点，且满足，则的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 19．已知焦点在轴上的双曲线，，是双曲线的两个顶点，是双曲线上的一点，且与点在双曲线的同一支上，关于轴的对称点是.若直线，的斜率分别是，，且，则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 20．已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A． B． C． D． 试卷第1页，总3页 试卷第1页，总3页 参考答案 1．C 【解析】解：设 的斜率为 ，由题意可知： ， 不妨设 ，当 时由对称性可知结果一致， 则： ， 令 ， 则 ， 当 取得最大值时满足题意， 很明显 ，则： ， 当且仅当 时等号成立， 此时： . 本题选择C选项. 点睛：本题的实质是离心率的问题，离心率是圆锥曲线最重要的几何性质，求离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合a,b,c的关系转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)． 2．B 【分析】 由题，，先由双曲线的定义，再利用余弦定理，由题意可得，最后再用 可得c、a的不等关系，可得离心率. 【详解】 由题，取点P为右支上的点，设 根据双曲线的定义知： 在三角形中，由余弦定理可得： 又因为 可得 即 又因为 所以 即 故选B 【点睛】 本题考查了双曲线的知识，解题的关键是在于定义、性质，以及焦三角形中的余弦定理，得出c、a之间的关系是解题的关键，属于较难题目. 3．C 【分析】