10 集合学习中的数学素养（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年1月刊

■李志勤 数学素养就是指从数学的角度来分析问 题、探究问题,面对数学知识可以进行理性思 考,逻辑 分 析 和 严 密 求 证,在 推 理 中 发 挥 想 象,在运算中进行数据处理,从而养成良好的 学习习惯。 一、积极分析主动判断,培养逻辑推理学 习习惯 例1 已知集合 A={x|x<-6或x> 3},B={x|k≤x≤k+1},若 A∩B≠⌀,求 k 的取值集合。 解:当 A∩B=⌀时,由 A={x|x<-6 或x>3},B={x|k≤x≤k+1},可画出 数 轴,如图1所示。 图1 由图可得 k≥-6, k+1≤3,{ 解得-6≤k≤2。 令集合 P={k|-6≤k≤2},则∁RP= {k|k<-6或k>2},故 当 A∩B≠⌀时,k 的取值集合是{k|k<-6或k>2}。 反思:“正难则反”是一种 重 要 的 解 题 策 略。题中 A∩B≠⌀的反面是 A∩B=⌀,求 A∩B≠⌀较困难时,可考虑先求其反面。在 解答一些较复杂的问题时,若从正面直 接 解 决的情况较多,可利用补集的思想,考虑问题 的反面,从而可以较简便地解答,这种“正难 则反”的策略就是补集思想。 二、通过归纳总结,培养解题能力 例2 设集合 A={(x,y)|y=x+1}, B={(x,y)|y=x2-1},则 A∩B=( )。 A.⌀ B.-1,2{ } C.(-1,0),(2,0){ } D.(-1,0),(2,3){ } 解:由 题 意 可 得 y=x+1, y=x2-1,{ 则x+1= x2-1,即x2-x-2=0,解得x1=-1,x2= 2,所以 A∩B= (-1,0),(2,3){ }。应选D。 反思:本 题 考 查 了 集 合 的 交 集 运 算。解 题时,要注意点集和数集的 区 别。本 题 常 见 错误是把点集看成了数集,从而错选B。 三、强化思想方法,提升解决问题能力 例3 已 知 集 合 A={x|x2-1=0}, B={x|mx-2=0},且 A∪B=A,则实数 m 组成的集合为 。 解:根 据 题 意 可 得 A={x|x2=1}= {-1,1}。若 A∪B=A,则 B⊆A。下 面 对 集合B 分三种情况讨论求解。 ①当 B=⌀时,方程 mx=2无 解,可 得 m=0。②当 B={1}时,方程 mx=2的解为 x=1,即 m×1=2,可 得 m=2。③当 B= {-1}时,方程 mx=2的解为x=-1,即m× (-1)=2,可得 m=-2。 故实数 m 组成的集合为{-2,0,2}。 反思:本题考查 集 合 间 的 包 含 关 系 的 应 用,考查分类讨论思想的应用。解题时,要注 意集合B 为空集的情况。 例4 已 知 集 合 A={x|-2≤x≤5}, B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B⊆A,求实 数 m 的取值范围。 解:由B⊆A,可对集合B 分两种情况讨 论求解。 ①当B=⌀时,由 m+1>2m-1,可得 m<2,这时符合题意。②当B≠⌀时,由m+ 1≤2m -1,可 得 m≥2,由 B ⊆A,可 得 m+1≥-2, 2m-1≤5,{ 即-3≤m≤3,所以2≤m≤3。 综上可得,实数 m∈(-∞,3]。 反思:本题的易 漏 点 在 于 子 集 为 空 集 的 情况,易错点在于弄错不等关系。 作者单位:山东省平邑县一中西校 (责任编辑 郭正华) 31 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年1月 $$