09 棱锥的体积计算话思想（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年1月刊

􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀 2次循环,s= 1 1-(-1) = 1 2 ,i=3;第3次循 环,s= 1 1- 1 2 =2,i=4。 由上可知,s 的值是以3为周期出现的, 结束时i=2021=3×673+2,可知s=-1。 应选 A。 评注:循环与周期关系“暧昧”,其交汇命 题有利于考查同学们的算法思想和逻辑推理 能力。解决 此 题 的 关 键 是 寻 找 周 期,精 准 定 位每次循环的s 与i 的对应关系及算法结束 时的s值。 编者注:在数学解题过程中,顺命题者的 脉络而下,向命题者要思路,不仅能提高解题 速度,而且能达到化繁为简、简缩思维、拓 宽 思路的功效,还让人萌生一种“春雨断桥人不 渡,小舟撑出 绿 荫 来”的 美 妙 感 觉,对 于 激 发 同学们学习数学的兴趣大有裨益。 作者单位:安徽省霍邱县第一中学 (责任编辑 郭正华) ■黄信璋 求棱锥的体积涉及两个基本要素:一个 是棱锥的底面积,另一个是 棱 锥 的 高。因 此 计算棱锥的体积时,可以抛开棱锥的形状,只 需获得棱锥的底面积与高。计算棱锥的体积 有许多数学思想渗透其中,如分割思想、补形 思想、转换思想、等积变换思想等。下面举例 说明这些数学思想是如何应用的。 一、转换思想 同一个几何体 转 换 顶 点 与 底 面,就 有 可 能找到解题的思路。 例 1 如 图 1 所 示,直 三 棱 柱 ABC- A1B1C1 的 侧 棱 和 底 面 边 长 都 为 a,截 面 AB1C 和截面 A1BC1 相交 于 DE,求 三 棱 锥 B-B1DE 的体积。 图1 解:因为直三棱柱各棱长均为a,所以各 侧面都是正方形。在△AB1C 中,D,E 分别 是AB1,CB1 的中点,所以S△B1DE= 1 4 S△AB1C。 又棱锥B-AB1C 与棱锥B-B1DE 的高相等, 所 以 VB-B1DE = 1 4 VB-AB1C。 因 为 VB-AB1C = VB1-ABC= 1 3 × 3 4 a2×a= 3 12 a3,所以VB-B1DE = 1 4 × 3 12 a3= 3 48 a3。 评注:本题直接求三棱锥 B-B1DE 的体 积,将会非 常 困 难,通 过 利 用△ABC 面 积 的 合理转换,很容易求得结果,且计算过程也简 化了。 二、等体积变换思想 把所求几何体 分 割 成 若 干 部 分,再 把 各 部分的体积求出,则这些几何体的体积 之 和 就是所求几何体的体积。 例2 如图2所示,在底面是正三角形的 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,三棱柱的高为3,底 面正三角形的边长为2,D,E 分别是AC,BC 的中点,求四棱锥A-A1B1ED的体积。 11 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年1月 图2 解:连 接 A1E。由 题 意 可 得 S△A1B1E = 2S△A1DE,S△ADE = 1 4 S△ABC。故 所 求 四 棱 锥 的 体积 VA-A1B1ED =VA-A1DE+VA-A1B1E =3VA-A1DE = 3VA1-ADE=3× 1 3 × 1 4 × 3 4 ×22×3= 33 4 。 评注:解答本题 的 关 键 是 等 体 积 变 换 思 想的应用。 三、补形思想 将复杂的、不规则的、不易认识的几何体 或几何图形补形成易于认识的几何体或几何 图形,从而使所求问题得到解决。 例3 如图3,在三棱锥P-ABC 中,已知 PA⊥BC,PA=BC=l,PA、BC 的 公 垂 线 ED=h,求 证:三 棱 锥 P-ABC 的 体 积 V= 1 6 ·l2·h。 图3 证法1:利用平面EBC(或平面 PAD)将 三棱锥分割成两个易求体积的三棱锥。 由 PA⊥BC,PA⊥DE,可得 PA⊥平面 EBC。因为DE⊥BC,所以DE 是△EBC 的 高。故三 棱 锥P-ABC 的 体 积 V =VP-EBC + VA-EBC = 1 3 S△EBC ·PE + 1 3 S△EBC ·EA = 1 3 S△EBC·(PE+EA)= 1 3 S△EBC·PA= 1 3 · 1 2 ·l·h·l= 1 6 ·l2·h。 证法2:将三棱锥补形成三棱柱,便于利 用条件求体积。 如图4所 示,以 PA 为 侧 棱,△ABC 为 底面 将 三 棱 锥 补 形 成 三 棱 柱 ABC-PQR,则 △EBC 为直截面。于是可得三棱锥 P-ABC 的体积 V= 1 3 VABC-PQR = 1 3 ·S△EBC ·PA= 1 6 ·l2·h。 图4 评注:本 题 也