08 “顺势而下“破解程序框图（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年1月刊

■冯克永 王 刚 流水顺势而下,能流向远方,解题者顺着 程序框图的脉络而下,可快速破解。“顺势而 下”,彰显解题魅力。下面就程序框图问题举 例分析,供大家学习与提高。 例1 定义某种运算z=x*y,运 算 原 理如 图1所 示,则 式 子 lg 1 3 10 æ è ç ö ø ÷ *sin90°+ 1 3( ) -2 [ ] *(4cos60°)= 。 输入 x，y 开始 结束 z=x（y+1） 否是 z=y（x+1） 输出 z x>y？ 图1 解:利用运算z=x*y,并结合程序框图 求 值。因 为lg 1 3 10 =- 1 3 <sin90°=1, 1 3( ) -2 =9>4cos60°=2,所 以 lg 1 3 10 æ è ç ö ø ÷ * sin90°+ 1 3( ) -2 [ ] * (4cos60°)= 1 × - 1 3 +1( ) +9×(2+1)= 83 3 。 答案为 83 3 。 评注:顺着程序框图的脉络而下,合理分 段求值。解 题 时,要 注 意 比 较 大 小,注 意 指 数、对数和三角函数值的计算。 例2 执行图2所示的程序框图,如果输 入a=lnπ,b=log2(lg7),c=21.01,则输出的 a= 。 开始 输入 Gi a>b？ 结束 输入 a，b，c 输出 a 否 是 a=b 否 是 a=c a>c？ 图2 解:该程序框图的功能是求出a,b,c 三 个数的最小值后赋予a 输出。 因为1<lnπ<2,log2(lg7)<0,21.01>2, 所以输出a=log2(lg7)。 答案为log2(lg7)。 评注:顺着程序框图的脉络而下,借助中 间值比较大小。本题考查条 件 结 构 的 应 用, 解题时要注意字母值的替换,最小者用 字 母 a 输出。 例3 执行图3所示的程序框图,则输出 s的值是( )。 s=2，i=1 开始 结束 s= 1 1-s i=i+1 输出 s 否 i>2 020？ 是 图3 A.-1 B. 1 2 C.2 D.2017 解:第1次循环,s= 1 1-2 =-1,i=2;第 01 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年1月 􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀􀥀 2次循环,s= 1 1-(-1) = 1 2 ,i=3;第3次循 环,s= 1 1- 1 2 =2,i=4。 由上可知,s 的值是以3为周期出现的, 结束时i=2021=3×673+2,可知s=-1。 应选 A。 评注:循环与周期关系“暧昧”,其交汇命 题有利于考查同学们的算法思想和逻辑推理 能力。解决 此 题 的 关 键 是 寻 找 周 期,精 准 定 位每次循环的s 与i 的对应关系及算法结束 时的s值。 编者注:在数学解题过程中,顺命题者的 脉络而下,向命题者要思路,不仅能提高解题 速度,而且能达到化繁为简、简缩思维、拓 宽 思路的功效,还让人萌生一种“春雨断桥人不 渡,小舟撑出 绿 荫 来”的 美 妙 感 觉,对 于 激 发 同学们学习数学的兴趣大有裨益。 作者单位:安徽省霍邱县第一中学 (责任编辑 郭正华) ■黄信璋 求棱锥的体积涉及两个基本要素:一个 是棱锥的底面积,另一个是 棱 锥 的 高。因 此 计算棱锥的体积时,可以抛开棱锥的形状,只 需获得棱锥的底面积与高。计算棱锥的体积 有许多数学思想渗透其中,如分割思想、补形 思想、转换思想、等积变换思想等。下面举例 说明这些数学思想是如何应用的。 一、转换思想 同一个几何体 转 换 顶 点 与 底 面,就 有 可 能找到解题的思路。 例 1 如 图 1 所 示,直 三 棱 柱 ABC- A1B1C1 的 侧 棱 和 底 面 边 长 都 为 a,截 面 AB1C 和截面 A1BC1 相交 于 DE,求 三 棱 锥 B-B1DE 的体积。 图1 解:因为直三棱柱各棱长均为a,所以各 侧面都是正方形。在△AB1C 中,D,E 分别 是AB1,CB1 的中点,所以S△B1DE= 1 4 S△AB1C。 又棱锥B-AB1C 与棱锥B-B1DE 的高相等, 所 以 VB-B1DE = 1 4 VB-AB1C。 因 为 VB-AB1C = VB1-ABC= 1 3 × 3 4 a2×a= 3 12 a3,所以VB-B1DE = 1 4 × 3 12 a3= 3 48 a3。 评注:本题直接求三棱锥 B-B1DE 的体 积,将会非 常 困 难,通 过 利 用△ABC 面 积 的 合理转换,很容易求得结果,且计算过程也简 化了