06 立体几何中证明线面平行的常用策略（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年1月刊

■ 陈 伟 斌1 张 启 兆2 线面平行问题是立体几何的 重要内容,证 明 线 面 平 行 常 用 线 面平行的 判 定 定 理,即 由 线 线 平 行推出线 面 平 行,因 此 寻 找 线 线 平行是解决问题的关键。 一、利 用 平 面 几 何 的 相 关 定理 图1 例1 如图 1,P 是 平 行 四 边 形 ABCD 所 在平面外一点, M,N 分 别 是 AB,PC 的 中 点。求证:MN∥平面 PAD。 证明:取 PD 的中点K,连接 KA,KN。 由 K,N 分 别 是 PD,PC 的 中 点,可 得 KN ∥CD 且 KN = 1 2 CD。由 题 意 可 得 AM∥CD 且AM = 1 2 CD,所 以 AM 􀱀KN, 所以 四 边 形 AMNK 为 平 行 四 边 形,可 得 MN∥AK。又AK⊂平面PAD,MN⊄平面 PAD,所以 MN∥平面 PAD。 评注:证明两直线平行的常用方法:①利 用三角形的中位线;②利用平行四边形的对 边互相平行;③利用线段成比例;④平面内垂 直于同一直线的两直线平行。 二、利用直线与平面平行的性质定理 图2 例2 如图2,AB 是圆 O 的直径,点C 是圆O 上异 于A,B 的 点,点 P 是 平 面 ABC 外 一 点,E,F 分 别 是 PA,PC 的 中 点。记 平 面 BEF 与平面ABC 的交线为 l,试判断直线l与平面PAC 的位置关系,并 加以证明。 解:直线l∥平面 PAC,证明如下。 由E,F 分 别 是 PA,PC 的 中 点,可 得 EF∥AC。因为EF⊄平面 ABC,AC⊂平面 ABC,所 以 EF∥平 面 ABC。因 为 EF⊂平 面BEF,且平面 BEF∩平面 ABC=l,所以 EF∥l。又l⊄平面 PAC,EF⊂平面 PAC, 所以直线l∥平面 PAC。 评注:由于平面BEF 与平面 ABC 的交线l 没 有 画 出 来,且 这 两个平面 只 有 一 个 公 共 点 B,因 此要发挥 空 间 想 象 能 力,联 想 交 线l 的位置。本题主要考查线面 平行 的 判 定 定 理 和 性 质 定 理 的 应用。 三、利 用 面 面 平 行 的 性 质 定理 图3 例3 如 图3,AC,DF 分 别 为 正 方 形ABCD和正 方 形 CDEF 的对角线,M,N 分别是线 段AC,DF 上 的 点,且AM= 1 2 MC,DN = 1 2 NF。证明:MN∥平面BCF。 证明:在 DC 上取点G,使 DG= 1 2 GC, 即G 是DC 上 的 一 个 三 等 分 点,所 以 GC DG = MC AM ,所以 MG∥AD。在正方形 ABCD 中, AD∥BC,可得 MG∥BC。因为 MG⊄平面 BCF,BC⊂ 平 面 BCF,所 以 MG ∥ 平 面 BCF。 同理可知 DG GC = DN NF ,所以 NG∥FC。因 为 NG⊄平 面 BCF,FC⊂平 面 FBC,所 以 NG∥平面BCF。 因为 MG∩NG=G,MG⊂平面 MNG, NG⊂ 平 面 MNG,所 以 平 面 MNG∥ 平 面 BCF。 又因为 MN⊂平 面 MNG,所 以 MN∥ 平面BCF。 评注:由于线线平行、线面平行、面面平 行是相互转化的,因此可结合已知条件,利用 面面平行的性质证明线面平行。 作者单位:1.江苏省无锡市第六高级中学 2.江苏省无锡市青山高级中学 (责任编辑 郭正华) 8 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年1月 $$