03 直线与圆的位置关系常见问题及求解策略（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年1月刊

■郭兴甫 直线与圆的位置关系是高中数学的重要内 容,是平面解析几何的基础,也是高考命题的热 点。下面举例说明直线与圆的位置关系常见问 题及求解策略,以期对同学们的学习有所帮助。 一、根据直线与圆的位置关系求参数 例1 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+y+32=0与圆 C 相切,圆心 C 的坐标 为(1,-1)。 (1)求圆C 的方程。 (2)设直线y=kx+2与圆 C 没有公共 点,求k 的取值范围。 (3)设直线y=x+m 与圆C 交于 M,N 两点,且OM⊥ON,求 m 的值。 解:(1)由 直 线 x+y+3 2=0与 圆 C 相切,且圆心C 的坐标为(1,-1),可得圆 C 的半径r= |1-1+32| 2 =3,则圆 C 的方程 为(x-1)2+(y+1)2=9。 (2)由直线y=kx+2与圆 C 没有公共 点,可 得 点 C (1,-1)到 直 线 的 距 离 k+1+2 k2+1 >3,解得0<k< 3 4 ,所以k 的取 值范围为 0, 3 4( ) 。 (3)由方程组 y=x+m, (x-1)2+(y+1)2=9,{ 可 得2x2+2mx+m2 +2m -7=0。由 Δ= 4m2-8(m2+2m-7)>0,解得-2-32< m<-2+3 2。设 点 M (x1,y1),N (x2, y2),则 x1+x2=-m,x1x2= m2+2m-7 2 。 因为 OM ⊥ON,所 以kOM ·kON =-1,可 得 x1x2+y1y2=0,即 x1x2+(x1+m)(x2+ m)=2x1x2 +m(x1+x2)+m2 =0,所 以 m2+2m-7=0,解得 m=-1±22。 评注:本题考查 了 直 线 与 圆 位 置 关 系 的 应用,合理转化、细心计算是解题关键。 二、考查圆的切线相关问题 例2 已 知 点 P(2+1,2- 2),点 M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4。 (1)求过点 P 的圆C 的切线方程。 (2)求过点 M 的圆C 的切线方程,并求 出切线长。 解:(1)由题意得圆心 C(1,2),半径r= 2。因为(2+1-1)2+(2- 2-2)2=4,所 以点 P 在圆C 上。又kPC=-1,所以切线的 斜率k=1,可得过点P 的圆C 的切线方程为 x-y+1-22=0。 (2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以 点 M 在圆C 外。 若过点 M 的切线斜率不存在,这时直线 方程为x-3=0,显然直线x-3=0是圆 C 的切线;若过点 M 的 切 线 斜 率 存 在,可 设 切 线方程为kx-y-3k+1=0。由圆心 C 到 切线的距离d= -2k-1 k2+1 =2,解得k= 3 4 , 可得切线方程为3x-4y-5=0。 综上 所 述,过 点 M 的 切 线 方 程 为x=3 或3x-4y-5=0。 当切 线 为 3x -4y -5=0 时,因 为 MC = 5,所以过点 M 的圆C 的切线长为 MC 2-r2= 5-4=1;当 切 线 为 x=3 时,此时 切 点 坐 标 是(3,2),可 得 切 线 长 为 2-1 =1。 评注:本题的易 错 点 是 在 过 圆 外 一 点 作 圆的切线时,忽视切线斜率不存在的情况。 注:本文是作者主要负责的“曲 教 曲 师” 教育科学规划2019年度课题“基于核心素养 下 的 高 中 数 学 解 题 研 究 ”(立 项 编 号: QJQSKT2019YB31)的部分阶段性研究成果。 作者单位:云南省曲靖市会泽县东陆高 级中学 (责任编辑 郭正华) 5 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年1月 $$