05 例析立体几何中平行与垂直的综合问题（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年1月刊

■胡 彬 对空间线面的平行与垂直关系的考查历 来是高考命题的热点。这类问题的常见类型 有证明问题和探索问题。下面分别从两个角 度对其典型例题进行透析。 角度一:证明问题 图1 例1 如图1,在 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, 平 面 PAD ⊥ 平 面 ABCD,PA ⊥ PD, PA=PD,E,F 分别是AD,PB 的中点。 (1)求证:PE⊥CD。 (2)求证:EF∥平面 PCD。 (3)求证:平面 PAB⊥平面 PCD。 证明:(1)由 PA=PD,E 是 AD 的 中 点,可 得 PE ⊥AD。由 平 面 PAD ⊥ 平 面 ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,可得 PE⊥平 面ABCD。因 为 CD⊂平 面 ABCD, 所以 PE⊥CD。 (2)取BC 中点G,连接EG,FG。 由 E,F 分 别 是 AD,PB 的 中 点,可 得 FG∥PC,EG∥DC。由 FG∩EG=G,可得 平面 EFG∥ 平 面 PCD。因 为 EF⊂ 平 面 EFG,所以EF∥平面 PCD。 (3)由 底 面 ABCD 为 矩 形,可 得 CD⊥ AD。由(1)得 CD⊥PE。因为 AD∩PE= E,所 以 CD ⊥ 平 面 PAD。又 AP ⊂ 平 面 PAD,所 以 CD⊥AP。由 PA⊥PD,PD∩ CD=D,可得 PA⊥平面 PCD。因为 PA⊂ 平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PCD。 角度二:探索问题 图2 例 2 如 图 2, ABCD 为 矩 形,点 A,E,B,F 共 面, △ABE 和△ABF 均 为等 腰 直 角 三 角 形, 且∠BAE=∠AFB=90°,平面ABCD⊥平面 AEBF。 (1)证明:平面BCF⊥平面 ADF。 (2)在线段 EC 上是否存在一点G,使得 BG∥平 面 CDF? 若 存 在,求 出 此 时 三 棱 锥 G-ABE与 三 棱 锥G-ADF 的 体 积 之 比;若 不 存在,请说明理由。 解:(1)由 ABCD 为 矩 形,可 得 BC⊥ AB。易得BC⊥平面 AEBF。因为 AF⊂平 面 AEBF,所以 BC⊥AF。由∠AFB=90°, 可得 AF⊥BF。因 为 BC∩BF=B,所 以 AF⊥平面 BCF。又 AF⊂平 面 ADF,所 以 平面 ADF⊥平面BCF。 (2)由BC∥AD,AD⊂平面 ADF,可得 BC∥ 平 面 ADF。由 题 设 可 得 ∠FAB = ∠ABE=45°,所以 AF∥BE。又 AF⊂平面 ADF,所 以 BE∥ 平 面 ADF。因 为 BC∩ BE=B,所以平面BCE∥平面 ADF。 延长EB 到 点 H,使 得 BH =AF(画 法 略)。由 BC ∥AD,BC =AD,连 接 CH, HF,易证ABHF 是平行四边形,所以 HF􀱀 AB􀱀CD,可得 HFDC 是 平 行 四 边 形,所 以 CH∥DF。 过点B 作CH 的平行线,交 EC 于点G (画法略),所以 BG∥CH ∥DF(DF⊂平 面 CDF),可得BG∥平面CDF,即此点 G 为所 求的点。 由 BE = 2AB =2AF =2BH,可 得 EG= 2 3 EC。 因 为 S△ABE =2S△ABF,所 以 VG-ABE= 2 3 VC-ABE = 4 3 VC-ABF = 4 3 VD-ABF = 4 3 VB-ADF= 4 3 VG-ADF。故此时三棱锥 G-ABE 与 三棱锥G-ADF的体积之比为 4 3 。 作者单位:安徽省利辛高级中学 (责任编辑 郭正华) 7 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年1月 $$