04 立体几何中的一个有用结论（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年1月刊

■甘志国(特级教师) 结论:若两个相交平面内各一条直线(均 不是这两个平面的交线)互相平行,则这两条 平行直线均与这两个平面的交线平行。 如图1所示,已知a⊂α,b⊂β,α∩β=l, 直线a,l不重合,直线b,l 也不重合,且a∥ b,求证:a∥l。 图1 证明:由a⊄β,b⊂β,a∥b,可 得a∥β。 因为a⊂α,α∩β=l,所以a∥l。 例1 证 明:若 一 条 直 线 与 两 个 相 交 平 面都平行,则这条直线与这两个相交平 面 的 交线平行。 证明:如图2所示,α∩β=l,c∥α,c∥β, 下面证明c∥l。 图2 过直线c 作平面γ,δ,分别与平面α,β 交 于直线 a,b。由c∥α,可 得c∥a。同 理 可 得,c∥b,所以a∥b∥c。结合上面的 结 论, 可得a∥b∥l,所以c∥l。 例2 证 明:若 一 个 平 面 和 两 个 相 交 平 面都垂直,则这个平面和这两个相交平 面 的 交线垂直。 证明:如图3所示,α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l, 下面证明l⊥γ。 图3 因为α⊥γ,β⊥γ,所以可分别在α,β 内 作直线a⊥γ,b⊥γ,可得a∥b。结合上面的 结论,可得a∥b∥l,所以l⊥γ。 例3 如图4,在正四棱锥V-ABCD 中, AB=2,VA= 5,求平面VAB 与平面VCD 所成二面角的大小。 图4 解:由 AB∥CD 及上面的 结 论,可 得 平 面VAB 与平面VCD 的交线l∥AB∥CD。 设棱 AB,CD 的中点分别为E,F,可得 EV⊥l,FV⊥l,所以∠EVF 就是平面VAB 与平面VCD 所成二面角的平面角。 由题设 易 得 △VEF 为 正 三 角 形,所 以 ∠EVF=60°,即所求二面角的大小为60°。 例4 已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面β,直线l 满足l⊥m,l⊥n,l⊄α, l⊄β,则( )。 A.α∥β 且l∥α B.α⊥β 且l⊥β C.α 与β 相交,且交线垂直于l D.α 与β 相交,且交线平行于l 解:假设平面α∥β。由 m⊥平面α,n⊥ 平面β,可得 m∥n,这与 m,n 为异面直线矛 盾,所以平面α 与β 相交。 由 m⊥平面α,m⊥l,l⊄α,可 得l∥α。 同理可得,l∥β。结合例1的结论知选D。 注:本文系北京市教育学会“十 三 五”教 育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究” (课题 编 号:FT2017GD003,课 题 负 责 人:甘 志国)阶段性研究成果之一。 作者单位:北京市丰台二中 (责任编辑 郭正华) 6 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年1月 $$