04 笺性回归方程常见考点例析（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年2月刊

■胡 彬 线性回归方程 是 高 考 的 一 个 常 考 点,下 面举例分析,供同学们学习与提高。 考点1:线性回归方程问题 例1 为了调查家庭的月收入与月储蓄 的情况,某居民区的物业工作人员随机 抽 取 该小区20个家庭,获得第i 个家庭的月收入 xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数 据资 料,计 算 可 得:∑ 20 i=1 xi =160,∑ 20 i=1 yi =40, ∑ 20 i=1 xiyi=360,∑ 20 i=1 x2i=1480,i=1,2,3,…,20。 (1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线 性回归方程ŷ=bx+a。 (2)若该居民区某家庭月收入为9千元, 请预测该家庭的月储蓄。 解:(1)由x= 1 20 ∑ 20 i=1 xi=8,y= 1 20 ∑ 20 i=1 yi= 2,可 得 样 本 中 心 点 为 8,2( ) 。 由 b= ∑ 20 i=1 xiyi-20x y ∑ 20 i=1 x2i-20x2 = 360-20×8×2 1480-20×64 = 1 5 ,可得 ŷ= 1 5 x+a,把 点 8,2( ) 代 入 可 得a= 2 5 ,所 以所求线性回归方程为ŷ= 1 5 x+ 2 5 。 (2)把 x=9代 入 ŷ= 1 5 x+ 2 5 得 ŷ= 11 5 =2.2(千元),即该居民区某家庭月收入为 9千元时,预测该家庭的月储蓄为2.2千元。 解题通法:用最 小 二 乘 法 求 回 归 直 线 方 程的关键步骤:①根据线性相关关系的两个 变量x,y 的一组观察值为(xi,yi)(i=1,2, 3,...,n),求 出 样 本 中 心 点(x,y);②由 系 数 公式求出回归系数b 和a。 考点2:线性回归分析问题 例2 某幼儿园雏鹰班的生活老师统计 2020年上半年每个月的20日的昼夜温差x (单位:℃,x≥3)和 患 感 冒 的 小 朋 友 人 数 y 的数据如表1所示。 表1 温差x x1 x2 x3 x4 x5 x6 患感冒人数y 8 11 14 20 23 26 其中∑ 6 i=1 xi=54.9,∑ 6 i=1 (xi-x)(yi-y)= 94, ∑ 6 i=1 (xi-x)2=6。 (1)请用相关系数加以说明是否可 用 线 性回归模型拟合y 与x 的关系。 (2)建立 y 关 于x 的 回 归 方 程(精 确 到 0.01),预测当昼夜温差升高4℃时患感冒的 小朋友的人数会有什么变化。(人数精 确 到 整数) 参考数据:7≈2.646。参 考 公 式:相 关 系数r= ∑ n i=1 xi-x( ) yi-y( ) ∑ n i=1 (xi-x)2 ∑ n i=1 (yi-y)2 ,回 归 系 数b= ∑ n i=1 xi-x( ) yi-y( ) ∑ n i=1 (xi-x)2 ,a=y-bx。 解:(1)由表中数据易得y=17,∑ 6 i=1 (yi- y)2=252。由相关系数公式可得r= 94 6×67 ≈ 0.99,可知可用线性回归模型拟合y 与x 的 关系。 (2)易得x=9.15。由回归系数公式可得 b= 94 36 ≈2.61,所 以 a=17-2.61×9.15≈ -6.88,所 以 y 关 于 x 的 回 归 方 程 为ŷ= 2.61x-6.88。当 x=4时,Δy=2.61×4≈ 10,预测当昼夜温差升高4℃时患感冒的小 朋友的人数会增加10人。 解题通法:在分 析 两 个 变 量 的 相 关 关 系 时,可根据样本数据作出散点图来确定 两 个 变量之间是否具有相关关系,或者通过 计 算 相关系数r 的值,判断是否具有相关关系,从 而利用回归方程进行估计和预测。 作者单位:安徽省利辛高级中学 (责任编辑 郭正华) 7 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年2月 $$