01 学好集合的三个“着力点”（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年1月刊

■刘长柏 集合在学习和生活中得到越来越广泛的 应用,它 已 成 为 理 解、掌 握 和 运 用 数 学 的 关 键。因此,同学们在正确理解 集 合 的 基 本 概 念外,还要着重在“突出一个数学方法,渗透 两类数学思想”方面下功夫、做文章。 一、正确理解集合的概念 集合表示中的符号语言包括列举法与描 述法,掌握集合表示法有利于对集合进 行 更 深一步理解。 例1 已知集合A={(x,y)|x,y∈N*, y≥x},B={(x,y)|x+y=8},则 A∩B 中 元素的个数是 。 解:由题意可知,两个集合都表示点集, 从而可得 A∩B={(1,7),(2,6),(3,5),(4, 4)},所以 A∩B 中元素的个数为4。 评析:集合的代表元素的含义非常广泛, 既可以是 定 义 域、值 域,又 可 以 是 平 面 上 的 点、参数、角等,因此只有理解 代 表 元 素 的 含 义,才能为正确解答集合问题奠定基础。 二、突出一个数学方法———元素分析法 集合中的元素具有“三性”,即确定性,互 异性,无序性。集合之间的关 系 与 运 算 都 是 从元素的角度予以定义的。因此求解集合问 题,抓住元素的特征进行分析,就相当于抓住 了“牛鼻子”。 例2 已知集合 A={a,a+b,a+2b}, B={a,ac,ac2},若 A=B,求c 的值。 解:根据题意可 分 两 种 情 况 进 行 讨 论 求 解。①由 a+b=ac, a+2b=ac2,{ 消去b 得a(c 2-2c+ 1)=0,当a=0时,集 合 B 中 的 三 个 元 素 均 为0,与元素的互异性相矛盾,可知a≠0,所 以c2-2c+1=0,解得c=1,但此时 B 中的 三个元素相同,则c≠1,所以此时无解。②由 a+b=ac2, a+2b=ac,{ 消去b得a(2c 2-c-1)=0,因为 a≠0,所以2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)= 0,而c≠1,可 知c=- 1 2 。综 上 可 知,c= - 1 2 。 评析:利用集合 元 素 的 无 序 性 和 两 集 合 相等的元素特征,得出两个方程组,打开了解 题的大门。 三、渗透两类数学思想———数形结合思 想与分类讨论思想 对数形结合思想与分类讨论思想的挖掘、 提炼和渗透,不仅可以有效地掌握集合的知识, 驾驭集合问题的求解,而且对于开发智力、培养 能力、优化品质,都具有十分重要的意义。 例3 设集合 A={x|x-a|<2},集合 B= x 2x-1 x+2<1{ },若 A⊆B,求 实 数 a 的 取值范围。 解:由题设可得 A={x|a-2<x<a+ 2},B={x|-2<x<3}。在数轴上画出集合 A,B (图 略)。由 A ⊆B,结 合 数 轴 可 得 a-2≥-2, a+2≤3,{ 解得a∈[0,1]。 评析:利用数形结合思想,借助于数轴将 满足条件的集合在数轴上一一表示出 来,从 而求得集合的交集、并集、补 集,既 简 单 又 直 观,这是最基本、最常见的方法。 例4 已 知 集 合 A={x|-3≤x≤4}, B={x|2m-1≤x≤m+1},且 B⊆A,求实 数 m 的取值范围。 解:由B⊆A,可对集合B 分两种情况讨 论求解。①当 B=⌀时,由 m+1<2m-1, 解 得 m >2;② 当 B ≠⌀ 时,由 不 等 式 组 -3≤2m-1, m+1≤4, m+1≥2m-1, ì î í ïï ïï 解 得 -1≤m ≤2。综 上 可 得,m≥-1,即 m∈[-1,+∞)。 评析:解题时,应注意集合 A,B 的包含 关系,特别要注意讨论B=⌀的情况。 作者单位:江苏省盐城市时杨中学 (责任编辑 郭正华) 3 数学部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年1月 $$