17 集合与函数专题复习（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年1月刊

■张文伟 集合与函数是高中数学的重要内容,是历 年来高考的必考知识,因此同学们要牢固掌握 其概念、性质及应用。下面就集合与函数的常 考知识点,举例分析,供大家学习与提高。 一、集合的有关概念与性质 正确理解集合的概念,理解子集,交集, 并集,补集,空集,全集的概念,牢固掌握集合 元素的“三性”。当集合是用列举法表示的数 集时,可以通过列举集合的元素进行运算,也 可以 借 助 Venn图 运 算;当 集 合 是 用 不 等 式 表示时,可以运用数轴求解。 例1 已 知 集 合 A={x|-1<x<3}, B={x|-m<x<m},若 B⊆A,则 实 数 m 的取值范围为 。 解:当-m≥m,即 m≤0时,B=⌀,显 然B⊆A。当 m>0时,由 A={x|-1<x< 3},且 B⊆A,可 在 数 轴 上 画 出 两 集 合 (图 略)。由图可 得 -m≥-1, m≤3, -m<m, ì î í ïï ïï 解 得0<m≤1。 综上可知,实数 m 的取值范围为(-∞,1]。 跟踪练习1:已 知 全 集 U=R,集 合 A= {x|x2-3x-4>0},集合 B={x|-2≤x≤ 2},则 图 1 所 示 的 阴 影 部 分 所 表 示 的 集 合 为( )。 图1 A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤2或x≥4} C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤2} 提示:依题意得 A={x|x<-1或 x> 4},因此∁RA={x|-1≤x≤4},图中的阴影 部分所表示的集合为(∁RA)∩B={x|-1≤ x≤2}。应选D。 二、根据集合的运算结果求参数 集合运算问题 应 注 意 三 点:①明 确 元 素 的构成,集合中的元素是数还是序数对,是函 数的自变量还是函数值;②对集合进行化简, 通过化简可使问题变得简单明了;③注意数 形结合的应用,如数轴,坐标系和 Venn图。 例2 已 知 集 合 A={x|x2-x-12> 0},B={x|x≥m}。若 A∩B={x|x>4}, 则实数 m 的取值范围是( )。 A.(-4,3) B.[-3,4] C.(-3,4) D.(-∞,4] 解:易得集合 A={x|x<-3或x>4}。 由 A∩B={x|x>4},可得-3≤m≤4。 应选B。 跟踪练习2:已 知 集 合 A={1,2,3,4}, 集合B={a+1,2a},若 A∩B={4},则a= ( )。 A.3 B.2 C.2或3 D.3或1 提示:由 A∩B={4},可得a+1=4或 2a=4。若a+1=4,则a=3,此时 B={4, 6},符 合 题 意;若2a=4,则a=2,此 时 B= {3,4},不符合题意。 综上可得,a=3。应选 A。 三、求函数的定义域 函数的解析式 有 意 义 的 一 般 准 则:①分 式中的分母 不 为0;②偶 次 根 式 的 被 开 方 数 非负;③y=x0 要求 x≠0;④对数式中 的 真 数大于0,底数大于0且不等于1;⑤正切函 数y=tanx,其中x≠kπ+ π 2 (k∈Z);⑥实 际问题中除考虑函数解析式有意义外,还 应 考虑实际问题本身的要求。 例3 函数y= ln(1-x) x+1 + 1 x 的定义域 是( )。 A.[-1,0)∪(0,1) B.[-1,0)∪(0,1] C.(-1,0)∪(0,1] D.(-1,0)∪(0,1) 82 数学部分·经典题突破方法 高一使用 2021年1月 解:由 题 意 可 得 1-x>0, x+1>0, x≠0, ì î í ïï ïï 解 得 -1< x<0 或 0<x<1。故 原 函 数 的 定 义 域 为 (-1,0)∪(0,1)。应选D。 跟踪练习3:已知函数f(x)的定义域为 (-1,0),则 函 数 f (2x +1)的 定 义 域 为( )。 A.(-1,1) B.-1,- 1 2( ) C.(-1,0) D. 1 2 ,1( ) 提示:令u=2x+1。由函数 f(x)的定 义域为(-1,0),可 知-1<u<0,即-1< 2x+1<0,解得-1<x<- 1 2 。应选B。 四、函数的单调性与最值 判断函数单调性的两种方法:①定义法, 一般步骤为:设元→作差→变形→判断符号 →得出结论。②图像法,函数f(x)是以图像 形式给出的,或者f(x)的图像易作出,则可 由图像的上升或下降确定单调性。求函数最 值的三种方法:①单调性法,先确定函数的单 调性,再由单调性结合端点 求 最 值。②图 像 法,先作出函数的图像,再观 察 其 最 高 点、最 低点,求出最值。③换元法,对比较复杂的函 数可通过换元转化为熟悉的函数,再利 用 相 应的方法求最值。