15 “函数的性质及其应用”高考追踪（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年1月刊

■曾令阳 函数是高中数学的基石,也是高考的重要 考点,尤其是函数的性质及其应用,历来是高考 命题的热点,那么函数的性质及其应用在高考 中是如何考查的呢? 让我们一起去追踪。 一、考查函数的单调性与奇偶性 例 1 (2020 年 高 考 全 国 卷)设 函 数 f(x)=x3- 1 x3 ,则f(x)是( )。 A.奇函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.奇函数,且在(0,+∞)上单调递减 C.偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 D.偶函数,且在(0,+∞)上单调递减 解:因为 函 数 f(x)=x3- 1 x3 的 定 义 域 为 x x≠0{ },且关于原点对称,而f(-x)= -f(x),所以 函 数 f(x)为 奇 函 数。又 函 数 y=x3 在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0) 上单调递增,而函数y= 1 x3 =x-3在(0,+∞) 上单调递减,在(-∞,0)上单调递减,所以函 数f(x)=x3- 1 x3 在(0,+∞)上单调递增,在 (-∞,0)上单调递增。应选 A。 评注:解题时,先求函数的定义域,再利 用函数奇偶性的定义和单调性进行判断。 二、利用函数的奇偶性求值 例2 (1)(2020年高考江苏卷)已知y= f(x)是奇 函 数,当 x≥0时,f(x)=x 2 3,则 f(-8)的值是 。 (2)(2019年 高 考 全 国 卷)设 f(x)为 奇 函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x< 0时,f(x)=( )。 A.e-x-1 B.e-x+1 C.-e-x-1 D.-e-x+1 解:(1)由于y=f(x)是奇函数,当x≥0 时,f(x)=x 2 3,所 以 f(-8)=-f(8)= -8 2 3=-4。 (2)由 于 f(x)是 奇 函 数,当 x≥0时, f(x)=ex-1,则 当 x<0时,-x>0,可 得 f(-x)=e-x -1=-f(x),所 以 f(x)= -e-x+1。应选D。 评注:利用函数的奇偶性求值时,可把所 求值的自变量化为已知解析式的范围,再 代 入解析式即可求值。 三、利用函数的性质解不等式 例3 (1)(2020年高考全国卷)若2x- 2y<3-x-3-y,则( )。 A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0 C.lnx-y >0 D.lnx-y <0 (2)(2020年高考山东卷改编)若定义在 R上的奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减, 且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x 的取 值范围是 。 解:(1)由2x-2y<3-x-3-y,可得2x- 3-x<2y-3-y。令f(t)=2t-3-t。 因为y=2t 为 R 上的增函数,y=3-t 为 R 上的减函数,所以 f(t)为 R 上的增函数, 所以x<y。据 此 可 知 y-x>0,所 以 y- x+1>1,所以ln(y-x+1)>0,A 正 确,B 错误。由于 x-y 与1的大小不能确定,故 C与D无法判断。应选 A。 (2)由 题 设 可 知,函 数f(x)在(0,+∞) 上也单调递 减,且f(-2)=0,f(0)=0。由 此可结合图像(图略)知,当 x∈(-∞,-2) ∪(0,2)时,f(x)>0,当 x∈(-2,0)∪(2, +∞)时,f(x)<0。由已知条件xf(x-1)≥0, 可 得 不 等 式 组 x<0, -2≤x-1≤0或x-1≥2,{ 或 x>0, 0≤x-1≤2或x-1≤-2,{ 或 x=0,解 得 -1≤x≤0或1≤x≤3,所 以 满 足 xf(x- 1)≥0的x 的取值范围是 -1,0[ ] ∪ 1,3[ ] 。 评注:对于第(1)小题,根 据 条 件 构 造 函 数,利用函数的图像与性质即可判断;对于第 (2)小题,根据函数奇偶性与单调性的关系, 可画出函数的大致图像,从而帮助求解。 作者单位:湖北省荆州市沙市第五中学 (责任编辑 郭正华) 62 数学部分·创新题追根溯源 高一使用 2021年1月 $$