14 直线与圆“易错问题”归类剖析创新题追根溯源（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年1月刊

■何 敏 在直线与圆的学习中,由于对概念的理 解和应用上出现片面化,容易导致种种 思 维 误区。下面对常见的“易错问题”进行归类剖 析,希望能引起同学们的高度重视。 易错1:忽视倾斜角为90°的特殊情况 例1 求经过 A(m,3),B(1,2)两 点 的 直线的斜率,并指出倾斜角α 的取值范围。 错解:由斜 率 公 式 可 得 直 线 AB 的 斜 率 k= 3-2 m-1 = 1 m-1 。 当 m>1时,k= 1 m-1 >0,可 知 直 线 的 倾斜角α 的取值范围是0°<α<90°; 当 m<1时,k= 1 m-1 <0,可 知 直 线 的 倾斜角α 的取值范围是90°<α<180°。 剖析:上述解法认为直线的斜率存在,忽 视了斜率不存在即倾斜角为90°的情况。本 题选择 m 为分类讨论对象,先讨论斜率是否 存在,再讨论斜率取值的正、负。 由斜 率 公 式 可 得 直 线 AB 的 斜 率k= 3-2 m-1 = 1 m-1 。 ①当 m=1时,斜率不存在,此时直线的 倾斜角α=90°。 ②当 m>1时,k= 1 m-1 >0,可 知 直 线 的倾 斜 角α 的 取 值 范 围 是0°<α<90°;当 m<1时,k= 1 m-1 <0,可知直线的倾斜角α 的取值范围是90°<α<180°。 警示:解答本题 要 分 斜 率 存 在 和 不 存 在 两种情况讨论求解。在斜率 存 在 的 情 况 下, 考虑倾斜角为0°,锐角,钝角的情况;在斜率 不存在的情况下,考虑倾斜角为90°的情况。 直线的倾斜角α 取值范围为0°≤α<180°。 易错 2:忽 视 两 点 间 距 离 公 式 的 几 何 意义 例2 已知实数x,y 满足2x+y+5= 0,那么 x2+y2 的最小值为( )。 A.5 B.10 C.5 D.2 10 错解:将2x+y+5=0代入 x2+y2 消 去 y,可 得 x2+y2 = x2+ 2x+5( )2 = 5x+2( )2+5≥5。应选C。 剖析:上述解法 通 过 降 元 转 化 为 二 次 函 数求最值,却忽视了开方运算。 由两 点 间 距 离 公 式 的 几 何 意 义 可 知, x2+y2= (x-0)2+(y-0)2 表示直线上 的动点 P(x,y)到原点 O(0,0)的 距 离。因 此,求 x2+y2 的 最 小 值 即 求 OP 的 最 小 值。过原点O(0,0)作直线2x+y+5=0的 垂线,其垂线段|OP|即为所求的最小值。由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 求 垂 线 段 的 长,即 OP min= 2×0+0+5 22+12 = 5。应选 A。 警示:利用点到 直 线 的 距 离 公 式 简 化 了 求解过程,凸显“数与形”的合理转化。 易错3:探究轨迹方程,忽视对参数的分 类讨论 例3 设 A(-c,0),B(c,0)(c>0)为两 定点,动点P 到点A 的距离与到点B 的距离 的比为定值a(a>0),求点 P 的轨迹。 错解:设动点 P 的坐标为(x,y)。 42 数学部分·易错题归类剖析 高一使用 2021年1月 由 |PA| |PB| =a,可 得 (x+c)2+y2 (x-c)2+y2 =a, 化简可得(1-a2)x2+2c(1+a2)x+c2(1- a2)+(1-a2)y2=0(a>0)。注意二元二次 方程的二次项系数相同的特征,可知点 P 的 轨迹为圆。 剖析:上述解法 忽 视 了 二 元 二 次 方 程 为 圆的条件,缺少对参数分类讨论的意识。 设动点 P 的坐标为(x,y)。 由上 述 解 法 可 得(1-a2)x2+2c(1+ a2)x+c2(1-a2)+(1-a2)y2=0,注意二元 二次方程的二次项系数相同的特征,下 面 进 行分类研究。 当a=1时,方程可化为x=0,可知轨迹 为直线; 当a≠1时,方程为x2+y2- 2c(a2+1) a2-1 x +c2=0,此方程可化为 x- a2+1 a2-1 c( ) 2 +y2= 2ac a2-1( ) 2 ,可知轨迹为圆。 故当a=1时,点 P 的轨迹为直线x=0 (即y 轴);当a≠1时,点 P 的 轨 迹 是 以 点 a2+1 a2-1 c,0( ) 为圆心, 2ac a2-1 为半径的圆。 警示:形 如 Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx+ Ey+F=0 的 方 程 表 示 圆 的 充 要 条 件 是: ①x2和y2 的系数 相 同,且 不 等 于0,即 A= C≠0;②没有 xy 项,即 B=0;③D2+E2- 4AF>0。本题的探究过程揭 示 了 圆 的 第 二 定义:平面内到两定点的距离之比为不 等 于 1的常数的动点轨迹为圆。 易