13 跨越“直线与圆的方程”的解题误区（数学部分）-《中学生数理化》高一使用2021年1月刊

■陈 健 由于直线与圆的方程知识点较多,题目 又灵活多变,同学们在解题时,容易出现这样 或那样的错误。为了防患于 未 然,下 面 举 例 说明,给同学们一个提醒。 误区一:忽视直线斜率不存在的情况 例1 求过点 P(2,-1)且与点 A(-3, -1)和点B(7,-3)距离相等的直线方程。 错解:设所求直线方程为y+1=k(x- 2),即 kx-y-2k-1=0。由 题 意 可 得 |-3k+1-2k-1| k2+1 = |7k+3-2k-1| k2+1 ,即 得 5k = 5k+2 ,解得k=- 1 5 ,所以所求的 直线方程为- 1 5 x-y+ 2 5 -1=0,即 x+ 5y+3=0。 剖析:上述解法 默 认 了 直 线 斜 率 一 定 存 在的情 况。事 实 上,当 斜 率 不 存 在 时,过 点 P(2,-1)的直线方程为x=2,也满足题意。 正解:当所求直线过点 P(2,-1),且斜 率不存在时,直线方程为x=2,满足题意;当 所求直线过点 P(2,-1),且斜率存在时,解 法同上,即直线方程为x+5y+3=0。 综上可知,所求直线方程为x+5y+3= 0或x=2。 误区二:混淆截距与距离的关系 例2 已 知 直 线 的 斜 率 为 1 2 ,且 与 两 坐 标轴围成的三角形面积为5,求该直线方程。 错解:设 所 求 直 线 方 程 为 y= 1 2 x+b。 令x=0,则y=b;令y=0,则 x=-2b。由 题意可 得 1 2 b(-2b)=5,即-b2=5,可 知 此 方程无解,所以所求直线方程不存在。 剖析:上述解法把截距与距离混淆了,认 为截距 一 定 为 正 数。事 实 上,截 距 可 正,可 负,还可以为零。 正 解:根 据 上 述 解 法 可 得 1 2 b · -2b =5,由此解得b=± 5,所以所求的 直线方程为y= 1 2 x± 5。 误区三:忽视表示圆方程的前提条件 例3 m 是什么数时,关于 x,y 的方程 (2m2+m-1)x2+(m2-m+2)y2+m+2= 0表示一个圆? 错解:欲使方程 Ax2+Cy2+F=0表示 一个圆,只需满足A=C≠0,于是可得2m2+ m-1=m2-m+2,即 m2+2m-3=0,解得 m=1或 m=-3。故 当 m=1或 m=-3 时,原方程表示一个圆。 剖析:当 A=C≠0 且 F A <0 时,方 程 Ax2+Cy2+F=0表示一个圆。 正解:根据上述解法可得 m=1或 m= -3。当 m=1时,方程为x2+y2=- 3 2 <0, 不合题意;当 m=-3时,方 程 为 x2+y2= 1 14 ,此方程表示一个圆。 故当 m=-3时,原方程表示一个圆。 圆C:x2+y2-3x-1=0的弦 PQ 的两 个端点的横坐标之积为7,且弦PQ 所在的直 线方程为2x-y+k=0,求实数k 的值。 提示:由 圆 方 程 与 直 线 方 程 联 立 可 得 5x2+(4k-3)x+k2-1=0,再 利 用 x1· x2=7,易得k=±6。 当k=6时,由 Δ<0,可 知 直 线 与 圆 相 离,不符合题意;当k=-6时,由Δ>0,可知 直线与圆相交,符合题意。故k=-6。 作者单位:江苏省太仓高级中学 (责任编辑 郭正华) 32 数学部分·易错题归类剖析 高一使用 2021年1月 $$