辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题及解析(五-六)(201～300题) 练习

高中立体几何典型500题及解析(五)(201~250题) 201. ．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=AC=2，求球的体积。 解析：过A、B、C三点截面的小圆的半径就是正△ABC的外接圆的半径 ， 它是Ｒｔ△中 所对的边，其斜边为 ，即球的半径为 ，∴ ； 202. 正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积。 解析：设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为 ，连结 与 并延长，必交于CD的中点E，又 ， ，连接 ，在Rt△ 中， 连结 与 交于 ，由Rt△ Ｒｔ△ ，∴ ，同理可证 到另二面的距离也等 ， ∴ 为四面体外接球与内接球的球心，由△ ∽△ ，∴ ， ∴ 203. 在RtΔABC中，AB＝BC，E、F分别是AC和AB的中点，以EF为棱把它折成大小为β的二面角A—EF—B后，设∠AEC＝α， 求证：2cosα-cosβ＝-1. 解析：∠AFB＝β.可证：BC⊥AB，然后利用AC2＝BC2+AB2即可证得. 204. 如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将△ABD和△ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD⊥平面ABE. 解析：过D作DF⊥AB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE＝ ； 205. 已知正三棱柱ABC— 的底面边长为８，侧棱长为６，D为AC中点， （１）求证：AB1∥平面C1DB；（２）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值. (1) 解析：连Ｂ１Ｃ交BC１于E，连结ED，则AB１∥DE，由线面平行定理得AB１∥平面BDC１；（２）∵AB１∥ＤＥ，∴DE与BC１所成锐角就是异面直线AB１与BC１所成的角，又BD⊥DC，在Rt△BDC１中， 易知BE＝ BC１＝５，DE＝５，BD＝ ，在△BDE中， ∠BED＝ ，∴异面直线AB１与BC１所成角的余弦值为 206. 已知（如图）：三棱锥P—ABC中，异面直线PA与BC所成的角为 ，二面角P—BC—A为 ，△PBC和△ABC的面积分别为16和10，BC＝４. 求：（１）PA的长；（２）三棱柱P—ABC的体积 解析： (1)作AD⊥BC于D，连PD，由已知PA⊥BC，∴BC⊥面PAD，∴BC⊥PD，∴∠PDA为二面角的平面角，∴∠PDF＝ ， 可算出PD＝８，AD＝５，∴PA＝７;(2)Ｖ＝ 207. 如图2－33：线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12， ACF的面积为72，求 BDE的面积。 解析： 求 BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知 ACF的面积，若 BDE与 ACF的对应边有联系的话，可以利用 ACF的面积求出 BDE的面积。 （提示：① ABC的两条邻边分别长为a、b，夹角为θ，则 ABC的面积S＝ absinθ,②sinα=sin(180°-α) 解答:∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE，又∵α∥β，∴AF∥BE 同理可证：AC//BD，∴∠FAC与∠EBD相等或互补，即sin∠FAC= sin∠EBD. 由 AF∥BE，得 ，∴BE＝ AF 由BD//AC，得： ，∴BD＝ AC 又∵ ACF的面积为72，即 AF·AC·sin∠FAC＝72， ∴ ＝ BE·BD·sin∠EBD 　　　　＝ · AF· AC·sin∠FAC 　　　　＝ · AF·AC·sin∠FAC＝ ×72＝84 ∴ BDE的面积为84平方单位。 208. a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题， ① 　　②　 　　　③ ④ 　　⑤　 　　⑥　 其中正确的命题是（　　） A. ①②③　 　B. ①④⑤　 C. ①④　 D.　①④⑤⑥ 解析： 首先要判断每个命题的真假，错误的命题只需给出一个反例。 解答: ①三线平行公理， ②两直线同时平行于一平面，这二直线可相交，平行或异面 ③二平面同时平行于一直线这两个平面相交或平行 ④面面平行传递性， ⑤一直线和一平面同时平行于另一直线，这条直线和平面可平行或直线在平面内， ⑥一直线和一平面同时平行于另一平面，这直线和平面可平行也可能直线在平面内， 故①④正确 ∴应选C。 209. 长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB1与A1D所成的角为α，AC与BC1所成的角为β，A1C1与CD1所成的角为γ。 求证：α＋β＋γ＝π 解析：作如图的辅助线 则∠AB1C为AB1与A1D所成的角∠AB1C＝α ∵AB A1B1 C1D1 ∴BC1//AD1，故∠D1AC为AC与BC1所成的角∠D1AC＝β ∵AA