辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题及解析(五-六)(201～300题) 练习

高中立体几何典型500题及解析(五)(201~250题)

201. ．已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=AC=2，求球的体积。

解析：过A、B、C三点截面的小圆的半径就是正△ABC的外接圆的半径，

它是Ｒｔ△中所对的边，其斜边为，即球的半径为，∴；

202. 正四面体棱长为a，求其内切球与外接球的表面积。

解析：设正四面体的面BCD和面ACD的中心分别为 ，连结与并延长，必交于CD的中点E，又，，连接，在Rt△中，连结与交于，由Rt△Ｒｔ△，∴，同理可证到另二面的距离也等，

∴为四面体外接球与内接球的球心，由△∽△，∴，

∴

203. 在RtΔABC中，AB＝BC，E、F分别是AC和AB的中点，以EF为棱把它折成大小为β的二面角A—EF—B后，设∠AEC＝α，

求证：2cosα-cosβ＝-1.

解析：∠AFB＝β.可证：BC⊥AB，然后利用AC2＝BC2+AB2即可证得.

204. 如图：D、E是是等腰直角三角形ABC中斜边BC的两个三等分点，沿AD和AE将△ABD和△ACE折起，使AB和AC重合，求证：平面ABD⊥平面ABE.

 

 

 

 

 

解析：过D作DF⊥AB交AB于F，连结EF，计算DF、EF的长，又DE为已知，三边长满足勾股定理，∴∠DFE＝；

205. 已知正三棱柱ABC—的底面边长为８，侧棱长为６，D为AC中点，

（１）求证：AB1∥平面C1DB；（２）求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值.

(1) 解析：连Ｂ１Ｃ交BC１于E，连结ED，则AB１∥DE，由线面平行定理得AB１∥平面BDC１；（２）∵AB１∥ＤＥ，∴DE与BC１所成锐角就是异面直线AB１与BC１所成的角，又BD⊥DC，在Rt△BDC１中，

易知BE＝BC１＝５，DE＝５，BD＝，在△BDE中，∠BED＝，∴异面直线AB１与BC１所成角的余弦值为

206. 已知（如图）：三棱锥P—ABC中，异面直线PA与BC所成的角为，二面角P—BC—A为，△PBC和△ABC的面积分别为16和10，BC＝４.

求：（１）PA的长；（２）三棱柱P—ABC的体积

 

 

解析：

(1)作AD⊥BC于D，连PD，由已知PA⊥BC，∴BC⊥面PAD，∴BC⊥PD，∴∠PDA为二面角的平面角，∴∠PDF＝，

可算出PD＝８，AD＝５，∴PA＝７;(2)Ｖ＝

207. 如图2－33：线段PQ分别交两个平行平面α、β于A、B两点，线段PD分别交α、β于C、D两点，线段QF分别交α、β于F、E两点，若PA＝9，AB＝12，BQ＝12，ACF的面积为72，求BDE的面积。

解析： 求BDE的面积，看起来似乎与本节内容无关，事实上，已知ACF的面积，若BDE与ACF的对应边有联系的话，可以利用ACF的面积求出BDE的面积。
（提示：①ABC的两条邻边分别长为a、b，夹角为θ，则ABC的面积S＝absinθ,②sinα=sin(180°-α)

解答:∵平面QAF∩α＝AF，平面QAF∩β＝BE，又∵α∥β，∴AF∥BE
同理可证：AC//BD，∴∠FAC与∠EBD相等或互补，即sin∠FAC= sin∠EBD.
由 AF∥BE，得，∴BE＝AF
由BD//AC，得：，∴BD＝AC
又∵ACF的面积为72，即AF·AC·sin∠FAC＝72，

∴＝ BE·BD·sin∠EBD
　　　　＝· AF·AC·sin∠FAC
　　　　＝· AF·AC·sin∠FAC＝×72＝84
∴BDE的面积为84平方单位。

208. a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出六个命题，
①　　②　　　　③
④　　⑤　　　⑥　
其中正确的命题是（　　）
A. ①②③　   　B. ①④⑤　   C. ①④　   D.　①④⑤⑥

解析： 首先要判断每个命题的真假，错误的命题只需给出一个反例。

B. 若直线a在平面α外，则a//α
C. 若直线a//b，直线bα，则a//α
D. 若直线a//b，bα，那么a就平行于平面α内的无数条直线

解析：画出图形，根据直线与平面平行的定义和判定定理进行分析。

解答: 由直线l 虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，知l不一定平行于α，从而排除A
直线a在平面α外，包括两种情况：a//α或a与α相交，故a与α不一定平行，从而排除B
直线a//b ，bα只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，故a不一定平行于α，从而排除C
a//b，bα，那么aα或a//α，故a可能与平面α内的无数条直线平行，从而选择D

点评: 判定直线与平面平行时，要注意直线与平面平行的判定定理中的三个条件，缺一不可。        。

212.如图2－20，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求证：MN//平面BCE。

解析： 要证MN//平面BCE，就是要在平面BCE上找一条直线，证明它与MN平行即可。

证明: 连结AN并延长，交BE延长张于G，连结CG。
由AF//BG，知，故MN//CG，MN平面BCE，CG平面BCE，于是MN//平面BCE。

点评:证线面平行，通常转化为证线线平行，关键是在平面内找到所需的线。
213. 如图2－21，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E为DD1的中点，
（1）判断BD1和过A、C、E三点的平面的位置关系，
　　并证明你的结论。
（2）求ACE的面积。
证明（1）：连结BD，令BD∩AC＝F。
∵BD1和过A、C、E三点的平面平行，
则F是DB的中点，又E是DD1的中点，
∴EF∥BD1
又EF平面ACE，BD1平面ACE，
∴BD1∥平面ACE
（2）在正方形ABCD中，AB＝2，AC＝2，∴AF＝
在直角△ADE中，AD＝2，DE＝1，∴AE＝

∴RD⊥α，同法在γ内，作RE垂直于α，交α与γ的交线m于E，则RE⊥α，过平面外一点，作这个平面的垂线是惟一的，∴RD、RE重合，则它既包含于β，又包含于γ，

∴ a⊥α。
证法4：如图2－60，在β、γ内分别取M、N分别作α、β的交线l和α、γ的交线m的垂线c，d，则c⊥α，d⊥α，c//d，c//a，∴ a⊥α。

点评: 此题是线线，线面，面面垂直转化典型题，多解题，对沟通知识和方法，开拓解题思路是有益的。

 

 

 

 

 

 

 

 

219. 下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是                                                       （　　）




解析：C

220. 如图，将锐角A为60°，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60°的二面角，则A与C之间的距离为___________。
解析：a



 

221. 如图2－63，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ。α∩γ＝a，β∩γ＝b且a∥b，

求证α∥β。
证明：在平面γ内作直线c⊥a，
        ∵a∥b，∴c⊥b。
　　　　∵α⊥γ，∴c⊥α，
　　　又∵β⊥γ，∴c⊥β，
　　　　∴α∥β

222. 求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行。
已知：如图：a//α,a//β,α∩β＝b，求证：a//b

解析：  本题可利用线面平行的性质定理来证明线线平行。

证明:    如图2－28，过a作平面γ、δ，使得γ∩α＝c，δ∩β＝d，那么有

点评:  本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程。这是证明线线平行的一种典型的思路。

 

223. 如图2－29：四面体A－BCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，
（1）求证：CD//平面EFGH；
（2）求异面直线AB、CD所成的角。
证明：（1）∵截面EFGH是一个矩形，
∴EF//GH，又GH平面BCD
∴EF//平面BCD，而EF平面ACD，面ACD∩面BCD＝CD
∴EF// CD，∴CD//平面EFGH
解：（2）则（1）知EF// CD，同理AB//FG，
由异面直线所成角的定义知∠EFG即为所求的角。
∴AB、CD所成的角为90°

224. 如图2－31：设a、b是异面直线，A∈a，B∈b，AB⊥a，AB⊥b，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上任意两点，MN与α交于点P，
求证：P是MN的中点。
  证明：连结AN，交平面α于点Q，连结PQ，OQ。
∵　b//α，b平面ABN，平面ABN∩α＝OQ，
∴b// OQ，又O为AB有中点，∴Q为AN的中点。
∵a//α，a 平面AMN，平面AMN∩α＝PQ，
∴a// PQ，
∴P是MN的中点。

∴平面AB1D1//平面BDC1。

点评:证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行。

227.如图2－24：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，
（1）求证：平面MNG//平面ACD；
（2）求

解析：（1）要证明平面MNG//平面ACD，由于M、N、G分别
为△ABC、△ABD、△BCD的重心，因此可想到利用重心的性
质找出与平面平行的直线。

证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。
∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，
则有：
连结PF、FH、PH有MN∥PF，又PF平面ACD，∴MN∥平面ACD。
同理：MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD

（2）分析：因为△MNG所在的平面与△ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。
解：由（1）可知，
∴MG＝PH，又PH＝AD，∴MG＝AD
同理：NG＝AC，MN＝CD，
∴MNG∽ACD，其相似比为1：3，
∴＝1：9

点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。

228. 如图：在正方体ABCD－EFGH中，求证：平面AFH//平面BDG。
解析：易证BD//平面AHF，BG//平面AHF，
∴平面BDG//平面AHF。

229.如图：在正方体ABCD－EFGH中，M、N、P、Q、R、S分别是AE、EH、EF、CG、BC、CD的中点，求证：平面MNP//平面QRS。

解析： 要证AH⊥平面BCD，只须利用直线和平面垂直的判定定理，证AH垂直于平面BCD中两条相交直线即可。

证明:取AB中点F，连结CF、DF，
∵AC＝BC，∴CF⊥AB，
又∵AD＝BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF，
又CD平面CDF，∴CD⊥AB
又CD⊥BE，∴CD⊥平面ABE，CD⊥AH
又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD。

点评:证明线面垂直，需转化为线线垂直，而线线垂直，又可通过证线面垂直来实现。在这里，定义可以双向使用，即直线a垂直于平面α内的任何直线，则a⊥α，反之，若a⊥α，则a垂直于平面α内的任何直线。

232.如图：已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，
C是异于A、B的⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于E　，
求证：AE⊥平面PBC。
证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC
而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC
又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE
∵PC⊥AE且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC。

233. 如图：BC是Rt△ABC的斜边，AP⊥平面ABC，连结PB、PC，作PD⊥BC于D，连结AD，则图中共有直角三角形_________个。

8
解析：Rt△PAB、Rt△PAC、Rt△ABC、Rt△ADP。
可证BC⊥平面APD，由BC⊥AD，BC⊥PD
可得Rt△PBD、Rt△PDC、Rt△ADB、Rt△ADC
共8个。
234. 如图：已知ABCD是空间四边形，AB＝AD，CB＝CD
求证：BD⊥AC
证明：设BD的中点为K，连结AK、CK，
∵AB＝AD，K为BD中点
∴AK⊥BD
同理CK⊥BD，且AK∩KC＝K
∴BD⊥平面AKC
∴BD垂直于平面AKC内的所有直线
235. 如图2－40：P是△ABC所在平面外的一点，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，PH⊥平面ABC，H是垂足。
求证：H是ABC的垂心。