辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题及解析(四)(151～200题) 练习

高中立体几何典型500题及解析(四)(151~200题)

151. ．已知E、F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是                                          （    ）

 A． B． 

 C． D．

解析：C

如图，为所求的二面角的平面角。可利用求求出DG的长度，则所求函数值可求。

152. 与正方形各面成相等的角且过正方体三个顶点的截面的个数是________．

解析：如图中，截面ACD1和截面ACB1均符合题意要求，这样的截面共有8个；

 

153. 已知矩形ABCD的边AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，PA=1，问

BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由.

 

 

 

 

 

解析：连接AQ，因PA⊥平面ABCD，所以PQ⊥QDAQ⊥QD，即以AD为直经的圆与BC有交点．

当AD=BC=aAB=1,即a1时，在BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD；．．．．．．．．．5分

当0<a<1时，在BC边上不存在点Q，使得PQ⊥QD．．．

154. 如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长的3，侧棱AA1=D是CB延长线上一点，且BD=BC.

   （Ⅰ）求证：直线BC1//平面AB1D；

   （Ⅱ）求二面角B1—AD—B的大小；

   （Ⅲ）求三棱锥C1—ABB1的体积.

 

 

 

 

 

 

（Ⅰ）证明：CD//C1B1，又BD=BC=B1C1， ∴ 四边形BDB1C1是平行四边形， ∴BC1//DB1.

又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1//平面AB1D.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

（Ⅱ）解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1， ∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD ，

 

∴∠B1EB是二面角B1—AD—B的平面角，  ∵BD=BC=AB， ∴E是AD的中点，

在Rt△B1BE中，∴∠B1EB=60°。即二面角B1—AD—B的大小为60°…………10分

（Ⅲ）解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C，

∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=

 即三棱锥C1—ABB1的体积为…………15分

   解法二：在三棱柱ABC—A1B1C1中，

        即为三棱锥C1—ABB1的体积．

155. 已知空间四边形ABCD的边长都是1，又BD=，当三棱锥A—BCD的体积最大时，求二面角B—AC—D的余弦值．

解析：如图，取AC中点E，BD中点F，由题设条件知道

（1）BED即二面角B—AC—D的平面角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）当AF面BCD时，VA—BCD达到最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

这时ED2=AD2-AE2=1-AE2=1-=1-