辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题及解析(三)(101～150题) 练习
高中立体几何典型500题及解析(三)(101~150题)
101. 
是△ABC在平面α上的射影，那么
和∠ABC的大小关系是 ( )
(A) <∠ABC (B) >∠ABC
(C) ≥∠ABC (D) 不能确定
解析：D
一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等．
102. 已知: 如图, △ABC中, ACB = 90, CD平面
, AD, BD和平面所成的角分别为30和45, CD = h, 求: D点到直线AB的距离。
解析：1、先找出点D到直线AB的距离, 即过D点作 DEAB, 从图形以及条件可知, 若把DE放在△ABD中不易求解。
2、由于CD平面, 把DE转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求DE在平面内的射影长。
解: 连AC, BC, 过D作DEAB, 连CE, 则DE为D到直线AB的距离。
∵CD
∴AC, BC分别是AD, BD在内的射影。
∴DAC, DBC分别是AD和BD与平面所成的角
∴DAC = 30, DBC = 45
在Rt△ACD中,
∵CD = h, DAC = 30
∴AC = 
在Rt△BCD中
∵CD = h, DBC = 45 
∴BC = h
∵CD, DEAB
∴CEAB
在Rt△ACB中
∴
∴在Rt△DCE中,
∴点D到直线AB的距离为
。
103. 已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和α相交，并且和a、b、c三条直线成等角．
求证：l⊥α
证法一：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO = BO = CO．设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中，
∵ PO公用，AO = BO = CO，∠POA =∠POB=∠POC，
∴ △POA≌△POB≌△POC
∴ PA = PB = PC．取AB中点D．连结OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB，
∵ 
∴ AB⊥平面POD
∵ PO
平面POD．
∴ PO⊥AB．
同理可证 PO⊥BC
∵ 
，
，
∴ PO⊥α，即l⊥α
若l不经过O时，可经过O作
∥l．用上述方法证明⊥α，
∴ l⊥α．
证法二：采用反证法
假设l不和α垂直，则l和α斜交于O．
同证法一，得到PA = PB = PC．
过P作
于
，则
，O是△ABC的外心．因为O也是△ABC的外心，这样，△ABC有两个外心，这是不可能的．
∴ 假设l不和α垂直是不成立的．
∴ l⊥α
若l不经过O点时，过O作∥l，用上述同样的方法可证⊥α，
∴ l⊥α
评述：（1）证明线面垂直时，一般都采用直接证法（如证法一），有时也采用反证法（如证法二）或同一法．
104. P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面α上的射影．
（1）若PA = PB = PC，则O是△ABC的____________心．
（2）若点P到△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC_________心．
解析：D如图所示
138. 相交成90°的两条直线和一个平面所成的角分别是30°和45°，则这两条直线在该平面内的射影所成的锐角是（ ）
(A) | (B) |
(C) | (D) |
解析：分析：设直角顶点到平面的距离是1，所求的角为θ，则
．
139. 在三棱锥P-ABC中， 
APB=BPC=CPA=600，求二面角A-PB-C的余弦值。
解析：在二面角的棱PB上任取一点Q，在半平面PBA和半
线DA，∴CD⊥平面PDE.PE是PC在平面PDE内的射影，∴PE⊥PD(三垂线定理的逆定理).故∠CPD是D-PE-C的平面角.在Rt△CDP中，sin∠DPC＝
＝
，故二面角大小为arcsin.
解法二：利用Scosθ＝S′.如右图，
平面PAD⊥平面ABCD
CD⊥AD，BA⊥AD
BA⊥平面PAD
CD⊥平面PAD
△PAD是△PBC在平面PDA内的射影.设面PDA与面PCB所成的二面角为θ，则S△PDA＝S△PCB·cosθ.Rt△PAB中，PA＝4
＝AD；Rt△PDC中，PD＝2
.
∴△PAD为等腰三角形且S△PAD＝
PD·AH＝15
.
cosθ＝
＝
＝
，
θ＝arccos＝.
145. 如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面为正方形，点A1在底面的射影O在AB上，已知侧棱A1A与底面ABCD成450角，A1A=a。求二面角A1-AC-B的平面角的正切值。（答案：
）