辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题及解析(三)(101～150题) 练习

高中立体几何典型500题及解析(三)(101~150题) 101. 是△ABC在平面α上的射影，那么 和∠ABC的大小关系是 ( ) (A) <∠ABC (B) >∠ABC (C) ≥∠ABC (D) 不能确定 解析：D 一个直角，当有一条直角边平行于平面时，则射影角可以等于原角大小，但一般情况不等． 102. 已知: 如图, △ABC中, (ACB = 90(, CD(平面 , AD, BD和平面 所成的角分别为30(和45(, CD = h, 求: D点到直线AB的距离。 解析：1、先找出点D到直线AB的距离, 即过D点作 DE(AB, 从图形以及条件可知, 若把DE放在△ABD中不易求解。 2、由于CD(平面 , 把DE转化到直角三角形中求解, 从而转化为先求DE在平面 内的射影长。 解: 连AC, BC, 过D作DE(AB, 连CE, 则DE为D到直线AB的距离。 ∵CD( ∴AC, BC分别是AD, BD在 内的射影。 ∴(DAC, (DBC分别是AD和BD与平面 所成的角 ∴(DAC = 30(, (DBC = 45( 在Rt△ACD中, ∵CD = h, (DAC = 30( ∴AC = 在Rt△BCD中 ∵CD = h, (DBC = 45( ∴BC = h ∵CD( , DE(AB ∴CE(AB 在Rt△ACB中 ∴ ∴在Rt△DCE中, ∴点D到直线AB的距离为 。 103. 已知a、b、c是平面α内相交于一点O的三条直线，而直线l和α相交，并且和a、b、c三条直线成等角． 求证：l⊥α 证法一：分别在a、b、c上取点A、B、C并使AO = BO = CO．设l经过O，在l上取一点P，在△POA、△POB、△POC中， ∵ PO公用，AO = BO = CO，∠POA =∠POB=∠POC， ∴ △POA≌△POB≌△POC ∴ PA = PB = PC．取AB中点D．连结OD、PD，则OD⊥AB，PD⊥AB， ∵ ∴ AB⊥平面POD ∵ PO 平面POD． ∴ PO⊥AB． 同理可证 PO⊥BC ∵ ， ， ∴ PO⊥α，即l⊥α 若l不经过O时，可经过O作 ∥l．用上述方法证明 ⊥α， ∴ l⊥α． 证法二：采用反证法 假设l不和α垂直，则l和α斜交于O． 同证法一，得到PA = PB = PC． 过P作 于 ，则 ，O是△ABC的外心．因为O也是△ABC的外心，这样，△ABC有两个外心，这是不可能的． ∴ 假设l不和α垂直是不成立的． ∴ l⊥α 若l不经过O点时，过O作 ∥l，用上述同样的方法可证 ⊥α， ∴ l⊥α 评述：（1）证明线面垂直时，一般都采用直接证法（如证法一），有时也采用反证法（如证法二）或同一法． 104. P是△ABC所在平面外一点，O是点P在平面α上的射影． （1）若PA = PB = PC，则O是△ABC的____________心． （2）若点P到△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC_________心． （3）若PA 、PB、PC两两垂直，则O是△ABC_________心． （4）若△ABC是直角三角形，且PA = PB = PC则O是△ABC的____________心． （5）若△ABC是等腰三角形，且PA = PB = PC，则O是△ABC的____________心． （6）若PA、PB、PC与平面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心； 解析：（1）外心．∵ PA=PB=PC，∴ OA=OB=OC，∴ O是△ABC的外心． 　（2）内心（或旁心）．作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连结PD、PE、PF．∵ PO⊥平面ABC，∴ OD、OE、OF分别为PD、PE、PF在平面ABC内的射影，由三垂线定理可知，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC．由已知PD=PE=PF，得OD=OE=OF，∴ O是△ABC的内心．（如图答9-23） （3）垂心． （4）外心．（5）外心　　 （6）外心．PA与平面ABC所成的角为∠PAO，在△PAO、△PBO、△PCO中，PO是公共边，∠POA=∠POB=∠POC=90°，∠PAO=∠PBO=∠PCO，∴ △PAO≌△PBO≌△PCO，∴ OA=OB=OC，∴ O为△ABC的外心． （此外心又在等腰三角形的底边高线上）． 105. 将矩形ABCD沿对角线BD折起来，使点C的新位置 在面ABC上的射影E恰在AB上． 求证： 分析：欲证 ，只须证 与 所在平面 垂直；而要证 ⊥平面 ，只须证 ⊥ 且 ⊥AD．因此，如何利用三垂线定理证明线线垂直就成为关键步骤了． 证明：由题意， ⊥ ，又斜线