辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题及解析(七-八)(301～400题) 练习
高中立体几何典型500题及解析(七)(301~350题)
301. 正三棱柱ABC—A1B1C1的侧面三条对角线AB1、BC1、CA1中，AB1⊥BC1.求证：AB1⊥CA1.
解析：方法1 如图，延长B1C1到D，使C1D＝B1C1.连CD、A1D.因AB1⊥BC1，故AB1⊥CD；又B1C1＝A1C1＝C1D，故∠B1A1D＝90°，于是DA1⊥平面AA1B1B.故AB1⊥平面A1CD，因此AB1⊥A1C.
方法2 如图，取A1B1、AB的中点D1、P.连CP、C1D1、A1P、D1B，易证C1D1⊥平面AA1B1B.由三垂线定理可得AB1⊥BD1，从而AB1⊥A1D.再由三垂线定理的逆定理即得AB1⊥A1C.
说明 证明本题的关键是作辅助面和辅助线，证明线面垂直常采用下列方法：
(1)利用线面垂直的定义；
(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线；
(3)证明直线平行于平面的垂线；
(4)证明直线垂直于与这平面平行的另一平面.
302. 已知：正三棱柱ABC—A′B′C′中，AB′⊥BC′，BC＝2，求：线段AB′在侧面
上的射影长.
解析： 如图，取BC的中点D.∵AD⊥BC，侧面
⊥底面ABC，∴AD⊥侧面
是斜线AB′在侧面的射影.又∵AB′⊥BC′，∴⊥BC′.
设BB′＝x，在RtΔ
中，BE∶BD＝
，＝
.
∵E是ΔBB′C的重心.∴BE＝
BC′＝
∴x＝·
，解得：x＝
.
∴线段AB′在侧面的射影长为.
303. 平面α外一点A在平面α内的射影是A′，BC在平面内，∠ABA′＝θ，
，∠ABC＝
，求证:cosγ＝cosθ·cosβ.
解析： 过A′作
⊥BC于C′，连AC′.
∵AA′⊥平面α，BC垂直AC在平面α内的射线.
∴BC′⊥AC′，cos＝
.
又∵cosθ＝
,cosβ＝
，
∴cos＝cosθ·cosβ.
304. ΔABC在平面α内的射影是ΔA′B′C′，它们的面积分别是S、S′，若ΔABC所在平面与平面α所成二面角的大小为θ(0＜θ＜90°＝，则S′＝S·cosθ.
证法一 如图(1)，当BC在平面α内，过A′作A′D⊥BC，垂足为D.
∵AA′⊥平面α，AD在平面α内的射影A′D垂直BC.
∴AD⊥BC.∴∠ADA′＝θ.
又S′＝
A′D·BC，S＝AD·BC，cosθ＝
,∴S′＝S·cosθ.
证法二 如图(2)，当B、C两点均不在平面α内或只有一点(如C)在平面α内，可运用(1)的结论证明S′＝S·cosθ.
305. 求证：端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.
证明 如图，设异面直线a、b的公垂线段是PQ，PQ的中点是M，过M作平面α，使PQ⊥平面α，且和AB交于R，连结AQ，交平面α于N.连结MN、NR.∵PQ⊥平面α，MN
α，∴PQ⊥MN.在平面APQ内，PQ⊥a,PQ⊥MN,∴MN∥a,a∥α，又∵PM＝MQ，∴AN＝NQ，同理可证NR∥b,RA＝RB.
即动线段的中点在经过中垂线段中点且和中垂线垂直的平面内.
306. 如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝
，M是CC1的中点，求证：AB1⊥A1M.
