辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题及解析(六)(251～300题) 练习

高中立体几何典型500题及解析(六)(251~300题)

251.  已知两平面α，β相交于直线a，直线b在β内与直线a相交于A点，直线c在平面α内与直线a平行，请用反证法论证b,c为异面直线.

解析：这题规定用反证法，提出与结论相反的假定后，要注意分可能的几种情况讨论.

证：用反证法.

假设b,c共面，则b∥c或b,c相交.

(1)若b∥c,∵  c∥a,  ∴  a∥b这与b∩a＝A的已知条件矛盾；

(2)若b∩c＝P,∵  bβ，∴  P∈β.

又∵  cα，∴  P∈α.  ∴  P∈α∩β而α∩β＝a.

∴  P∈a，这样c,a有了公共点P，这与a∥c的已知条件矛盾.

综上所述，假设不成立，所以b、c为异面直线.

说明  本题如不指明用反证法，也可以考虑用平面直线的判定定理来证明.

252.  如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线AA1和的中点分别是E、F.

(1)证明EF是AA1与BD1的公垂线段；

(2)求异面直线AA1和BD1间的距离.

解析：(1)连接ED1、EB，

则显然ED1＝EB＝a

又F为BD1之中点.

∴  EF⊥BD1；

连接FA1，FA.

∵  F为正方体的中心，

∴  FA＝FA1，又E为AA1之中点，

∴  EF⊥A1A.

故EF为AA1与BD1的公垂线段.

(2)在RtΔEFD1中

EF＝＝.

故AA1到BD1间的距离是.

评析：今后学习了线面的位置关系之后，可以利用“转化”的思想求距离.

253.  如图所示，正三棱锥S—ABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角.

解析：计算EF、SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上.为此取SB之中点G，连GE、GF、BE、AE，由三角形中位线定理：GE＝BC，GF＝SA，且GF∥SA，所以∠GFE就是EF与SA所成的角.若设此正三棱锥棱长为a，那么GF＝GE＝a,EA＝EB＝a,EF＝＝a，因为ΔEGF为等腰直角三角形.∠EFG＝45°，所以EF与SA所成的角为45°.

说明  异面直线所成角的求法：

利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，通过证明所作的角就是所求的角或者补角，解三角形，可求.

254.  在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足＝＝＝＝k.

(1)求证：M、N、P、Q共面.

(2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示)

解析：(1)∵  ＝＝k

∴  MQ∥BD，且＝

∴  ＝＝

∴  MQ＝BD

又  ＝＝k

∴  PN∥BD，且＝

∴  ＝＝从而NP＝BD

∴  MQ∥NP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面.

(2)∵  ＝，＝

∴  ＝＝,＝

∴  MN∥AC，又NP∥BD.