辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题及解析(六)(251～300题) 练习

高中立体几何典型500题及解析(六)(251~300题) 251. 已知两平面α，β相交于直线a，直线b在β内与直线a相交于A点，直线c在平面α内与直线a平行，请用反证法论证b,c为异面直线. 解析：这题规定用反证法，提出与结论相反的假定后，要注意分可能的几种情况讨论. 证：用反证法. 假设b,c共面，则b∥c或b,c相交. (1)若b∥c,∵ c∥a, ∴ a∥b这与b∩a＝A的已知条件矛盾； (2)若b∩c＝P,∵ b β，∴ P∈β. 又∵ c α，∴ P∈α. ∴ P∈α∩β而α∩β＝a. ∴ P∈a，这样c,a有了公共点P，这与a∥c的已知条件矛盾. 综上所述，假设不成立，所以b、c为异面直线. 说明 本题如不指明用反证法，也可以考虑用平面直线的判定定理来证明. 252. 如图，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，异面直线AA1和 的中点分别是E、F. (1)证明EF是AA1与BD1的公垂线段； (2)求异面直线AA1和BD1间的距离. 解析：(1)连接ED1、EB， 则显然ED1＝EB＝ a 又F为BD1之中点. ∴ EF⊥BD1； 连接FA1，FA. ∵ F为正方体的中心， ∴ FA＝FA1，又E为AA1之中点， ∴ EF⊥A1A. 故EF为AA1与BD1的公垂线段. (2)在RtΔEFD1中 EF＝ ＝ . 故AA1到BD1间的距离是 . 评析：今后学习了线面的位置关系之后，可以利用“转化”的思想求距离. 253. 如图所示，正三棱锥S—ABC的侧棱与底面的边长相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，求异面直线EF与SA所成的角. 解析：计算EF、SA所成的角，可把SA平移，使其角的顶点在EF上.为此取SB之中点G，连GE、GF、BE、AE，由三角形中位线定理：GE＝ BC，GF＝ SA，且GF∥SA，所以∠GFE就是EF与SA所成的角.若设此正三棱锥棱长为a，那么GF＝GE＝ a,EA＝EB＝ a,EF＝ ＝ a，因为ΔEGF为等腰直角三角形.∠EFG＝45°，所以EF与SA所成的角为45°. 说明 异面直线所成角的求法： 利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上，通过证明所作的角就是所求的角或者补角，解三角形，可求. 254. 在空间四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是四边上的点，且满足 ＝ ＝ ＝ ＝k. (1)求证：M、N、P、Q共面. (2)当对角线AC＝a,BD＝b，且MNPQ是正方形时，求AC、BD所成的角及k的值(用a,b表示) 解析：(1)∵ ＝ ＝k ∴ MQ∥BD，且 ＝ ∴ ＝ ＝ ∴ MQ＝ BD 又 ＝ ＝k ∴ PN∥BD，且 ＝ ∴ ＝ ＝ 从而NP＝ BD ∴ MQ∥NP，MQ，NP共面，从而M、N、P、Q四点共面. (2)∵ ＝ ， ＝ ∴ ＝ ＝ , ＝ ∴ MN∥AC，又NP∥BD. ∴ MN与NP所成的角等于AC与BD所成的角. ∵ MNPQ是正方形，∴ ∠MNP＝90° ∴ AC与BD所成的角为90°， 又AC＝a，BD＝b， ＝ ＝ ∴ MN＝ a 又 MQ＝ b,且MQ＝MN， b＝ a，即k＝ . 说明：公理4是证明空间两直线平行的基本出发点. 255.已知：直线a和直线b是异面直线，直线c∥a，直线b与c不相交，求证：b、c是异面直线. 证：因为b,c不相交，b、c的位置关系有b∥c或b、c异面两种可能. 假设b∥c,∵ c∥a,∴ a∥b，这与已知a,b是异面直线矛盾. 所以b与c不能平行，又b、c不相交 所以b,c是异面直线. 256.分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD一定是异面直线，为什么? 证明：假设AC、BD不异面，则它们都在某个平面α内，这时A、B、C、D四点都在α上，由公理1知A、B、C、D α，这与已知AB与CD异面矛盾，所以AC、BD一定是异面直线. 257. 如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，B1E1＝D1F1＝ ，则BE1与DF1所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 解析：过A点在平面ABB1A1内作AF，使A1F＝D1F1，则ADF1F是平行四边形，∴FA∥DF1，再过E1在平面ABB1A1内作E1E∥FA，则∠BE1E即是BE1与DF1所成的角，由已知BE1＝DF1＝ ，ABCD—A1B1C1D1是正方体，∴ E1E＝ A1B1， 又DF1＝AF＝E1E，DF1＝BE1. ∴ E1E＝ A1B1，EB＝ A1B1 在ΔBE1E中，cos∠BE1E＝ ＝ . ∴ 应选A. 258. 在棱长为1的正方体ABCD—