辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题及解析(二)(51～100题) 练习
高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题)
51. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。
求：AM与CN所成的角的余弦值；
解析：(1)连接DM,过N作NE∥AM交DM于E，则∠CNE
为AM与CN所成的角。
∵N为AD的中点, NE∥AM省 ∴NE=
AM且E为MD的中点。
设正四面体的棱长为1， 则NC=·
= 
且ME=MD=
在Rt△MEC中，CE2=ME2+CM2=
+
=
∴cos∠CNE=
,
又∵∠CNE ∈(0, 
)
∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为
.
注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长，再回到△CEN中求角。
2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。
52. .如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 
。求异面直线AB与CD所成的角。
解析：在BD上取一点G，使得
，连结EG、FG 
在ΔBCD中，
，故EG//CD，并且
，
所以，EG=5；类似地，可证FG//AB，且
，
故FG=3，在ΔEFG中，利用余弦定理可得
cos∠FGE=
，故∠FGE=120°。
另一方面，由前所得EG//CD，FG//AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60°。
53. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦．
解一：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，则OF∥AC1且OF=AC1，所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。在△FOB中，OB=
，OF=
，BE=
，由余弦定理得
cos∠OB=
=
解二：取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即AC1与DB所成的角。
解三：．延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．连EC1，在△AEC1
中，AE=
，AC1=
，C1E=
由余弦定理，得
cos∠EAC1=
=
＜0
所以∠EAC1为钝角．
根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为
54. 已知AO是平面
的斜线，A是斜足，OB垂直，B为垂足，则
直线AB是斜线在平面内的射影，设AC是内的任一条直线，
解析：设AO与AB所成角为
，AB与AC所成角为
，AO与AC所成角为
，则有
。
在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=
∠ACB=
，
，求异面直线SC与AB所成角的大小。（略去了该题的1,2问）
由SA⊥平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影，
设异面直线SC与AB所成角为，
则 
，
由 得
∴ 
， 
，
∴ 
， 即异面直线SC与AB所成角为 
。
55. 已知平行六面体
的底面ABCD是菱形，且
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
答案（D）
解析：要找到一个好的工作方法，使得计数时不至于产生遗漏
73. ABCD是各条棱长都相等的三棱锥.M是△ABC的垂心，那么AB和DM所成的角等于______
解析：90°连CM交AB于N，连DN，易知N是AB中点，AB⊥CN，AB⊥DN.
74. 已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°，求证MN⊥面PCD.(12分)
解析：
75. 设P、Q是单位正方体AC1的面AA1D1D、面A1B1C1D1的中心。
如图：（1）证明：PQ∥平面AA1B1B；