辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题及解析(二)(51～100题) 练习

高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M、N分别为BC、AD的中点。 　 　求：AM与CN所成的角的余弦值； 解析：(1)连接DM,过N作NE∥AM交DM于E，则∠CNE 　为AM与CN所成的角。 　∵N为AD的中点, NE∥AM省 　∴NE= AM且E为MD的中点。 　设正四面体的棱长为1，　　则NC= · = 且ME= MD= 　　在Rt△MEC中，CE2=ME2+CM2= + = ∴cos∠CNE= , 　　又∵∠CNE ∈(0, ) ∴异面直线AM与CN所成角的余弦值为 . 注：1、本题的平移点是N，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN外计算CE、CN、EN长，再回到△CEN中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。 52. .如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。求异面直线AB与CD所成的角。 解析：在BD上取一点G，使得 ，连结EG、FG 　　在ΔBCD中， ，故EG//CD，并且 ， 　　所以，EG=5；类似地，可证FG//AB，且 ， 　　故FG=3，在ΔEFG中，利用余弦定理可得 　　cos∠FGE= ，故∠FGE=120°。 　　另一方面，由前所得EG//CD，FG//AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且a＞b．求AC1与BD所成的角的余弦． 解一：连AC，设AC∩BD=0，则O为AC中点，取C1C的中点F，连OF，则OF∥AC1且OF= AC1，所以∠FOB即为AC1与DB所成的角。在△FOB中，OB= ，OF= ，BE= ，由余弦定理得 cos∠OB= = 解二：取AC1中点O1，B1B中点G．在△C1O1G中，∠C1O1G即AC1与DB所成的角。 解三：．延长CD到E，使ED=DC．则ABDE为平行四边形．AE∥BD，所以∠EAC1即为AC1与BD所成的角．连EC1，在△AEC1 中，AE= ，AC1= ，C1E= 由余弦定理，得 cos∠EAC1= = ＜0 所以∠EAC1为钝角． 根据异面直线所成角的定义，AC1与BD所成的角的余弦为 54. 已知AO是平面 的斜线，A是斜足，OB垂直 ，B为垂足，则 直线AB是斜线在平面 内的射影，设AC是 内的任一条直线， 解析：设AO与AB所成角为 ，AB与AC所成角为 ，AO与AC所成角为 ，则有 。 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC= ∠ACB= ， ，求异面直线SC与AB所成角的大小。（略去了该题的1,2问） 由SA⊥平面ABC知，AC为SC在平面ABC内的射影， 设异面直线SC与AB所成角为 ， 则 ， 由 得 ∴ ， ， ∴ ， 即异面直线SC与AB所成角为 。 55. 已知平行六面体 的底面ABCD是菱形，且 ，证明 。 （略去了该题的2，3问） 解析： 设 在平面ABCD内射影为H，则CH为 在平面ABCD内的射影， ∴ ， ∴ ， 由题意 ， ∴ 。 又 ∵ ∴ ， 从而CH为 的平分线， 又四边形ABCD是菱形， ∴ ∴ 与BD所成角为 ， 即 56.. 在正四面体ABCD中，E，F分别为BC，AD的中点， 求异面直线AE与CF所成角的大小。 解析： 连接BF、EF，易证AD⊥平面BFC， ∴ EF为AE在平面BFC内的射影， 设AE与CF所成角为 ， ∴ ， 设正四面体的棱长为 ，则 ， 显然 EF⊥BC， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 即AE∴与CF所成角为 。 57. 三棱柱 ，平面 ⊥平面OAB， ，且 ，求异面直线 与 所成角的大小，（略去了该题的1问） 解析： 在平面 内作 于C ，连 ， 由平面 平面AOB， 知， AO⊥平面 ， ∴ ， 又 ， ∴ BC⊥平面 ， ∴ 为 在平面 内的射影。 设 与 所成角为 ， 与 所成角为 ， 则 ， 由题意易求得 ， ∴ ， 在矩形 中易求得 与 所成角 的余弦值： ， ∴ ， 即 与 所成角为 。 58. 已知异面直线 与 所成的角为 ，P为空间一定点，则过点P且与 ， 所成的角均是 的直线有且只有（ ） A、1条 B、2条 C、3条