辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题及解析(八)(351～400题) 练习

高中立体几何典型500题及解析(八)(351~400题)

351. （1）已知直线a∥平面，a⊥平面．求证：⊥．

　　　 （2）已知三个平面、、，∥，⊥．求证：⊥．

解析：（1）如图答9-41，∵　a∥，∴　在上任取一点，过a与A确定平面，设，则．∵　a⊥，∴　．∵　，∴　⊥．

　　　 （2）在上任取P，设，在内作，∵　⊥，∴　PQ⊥．∵　∥，∴　PQ⊥，∵　PQ，∴　⊥．

352. 在正方体中，求二面角的大小．

解析：如图9-43，在平面内作，交于E．连结，设正方体棱长为a，在△和△中，，，

，∴　△≌△，∵　，∴　，∴　为二面角的平面角．在Rt△中，，∴　，∴　,在△中，

，，，

，

353. 如图9-50，点A在锐二面角-MN-的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成的∠PAM为45°，与面所成的角为30°，求二面角-MN-的大小．

解析：如图答9-44，取AP上一点B，作BH⊥于H，连结AH，则∠BAH为射线AP与平面所成的角，∴　∠BAH=30°，再作BQ⊥MN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，HQ⊥MN，∴　∠BQH为二面角-MN-的平面角．

图答9-44

　　设BQ=a，在Rt△BAQ中，∠BQA=90°，∠BAM=45°，∴　，在Rt△BAH中∠BHA=90°，∠BAH=30°，∴　．在Rt△BHQ中，∠BHQ=90°，BQ=a，，，∵　∠BQH是锐角，∴　∠BQH=45

即二面角-MN-等于45°．

354. 已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题：

(1)α∥βl⊥m      (2)α⊥βl∥m

(3)l∥mα⊥β      (4)l⊥mα∥β

其中正确的两个命题是(    )

A.(1)与(2)        B.(3)与(4)        C.(2)与(4)        D.(1)与(3)

分析：本题主要考查直线与平面、平面和平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力.

解法一：在l⊥α，mβ的前提下，当α∥β时，有l⊥β，从而l⊥β，从而l⊥m，得(1)正确；当α⊥β时，l垂直于α、β的交线，而m不一定与该交线垂直，因此，l与m不一定平行，故(2)不正确.故应排除A、C.依题意，有两个命题正确，不可能(3)，(4)都正确，否则连同(1)共有3个命题正确.故排除B，得D.

解法二：当断定(1)正确之后，根据4个选择项的安排，可转而检查(3)，由l∥m,l∥α知m⊥α，从而由mα得α⊥β.即(3)正确.故选D.

解法三：不从(1)检查起，而从(2)、(3)、(4)中任一命题检查起，如首先检查(4)；由l⊥α,m⊥β不能否定m是α、β的交线，因此α∥β不一定成立，故(4)是不正确的，因此可排除B、C.依据A和D的内容可知(1)必定是正确的，否则A和D也都排除，以下只要对(2)

EF平面AEF  ∴a⊥EF

391. 如图，△ABC为锐角三角形，PA⊥平面ABC，A点在平面PBC上的射影为H，求：H不可能是△PBC的垂心．

解析：连结CH，则CH是AC在平面PBC内的射影，若H为垂心，则CH⊥PB，由三垂线定理得AC⊥PB，又PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，∴AC⊥平面PAB，从而AC⊥AB与△ABC为锐角三

角形矛盾，故H不可能是垂心．

 

 

392. 如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．（1）求PB与平面BCD所成角；（2）求BP与平面PCD所成的角

解析：（1）PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD内的射影，∴∠PBD为PB与平面BCD所成角,BD⊥BC,由三垂线定理得BC⊥BD，∴BP=CD，设BC=a，则BD=a，BP=CD=a∴在Rt△BPD中，

cos∠DBP= ∴∠DBP=45°, 即PB与平面BCD所成角为45°．

  （2）过B作BE⊥CD于E，连结PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD，

∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE=a, BP=a,∴∠BPE=30°   即BP与平面PCD所成角为30°．

393. 正四棱锥的一个对角面与一个侧面的面积之比为，求侧面与底面所成的角的大小。

 

 

 

 

解析：如图，正四棱锥P—ABCD的一个对角面△PAC。设棱锥的底面边长为a，高为h，斜高为h′，底面中心为O，连PO，则PO⊥底面ABCD，∴PO⊥AC，在△PAC中，AC=，PO=h，

         ∴

   （2）

∵ B1B∥A1A

∴ B1B⊥BC，即侧面BB1C1C为矩形

∴

又

∴ S全=

   （3）∵ cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB

∴ cos∠A1AO=

∴ sin∠A1AO=

∴ A1O=A1Asin∠A1AO=

∴

   （4）把线A1A到侧面BB1C1C的距离转化为点A或A1到平面BB1C1C的距离

为了找到A1在侧面BB1C1C上的射影，首先要找到侧面BB1C1C的垂面

设平面AA1M交侧面BB1C1C于MM1

∵ BC⊥AM，BC⊥A1A

∴ BC⊥平面AA1M1M

∴ 平面AA1M1M⊥侧面BCC1B1

在平行四边形AA1M1M中

过A1作A1H⊥M1M，H为垂足

则A1H⊥侧面BB1C1C

∴ 线段A1H长度就是A1A到侧面BB1C1C的距离

∴

398. 平面α内有半径为R的⊙O，过直径AB的端点A作PA⊥α，PA=a，C是⊙O上一点，∠CAB=600，求三棱锥P—OBC的侧面积。

解析：三棱锥P—OBC的侧面由△POB、△POC、△PBC三个三角形组成

在求出边长元素后，求三角形面积时，应注意分析三角形的形状，简化计算

∵ PA⊥平面ABC

∴ PA⊥AO，AC为PC在平面ABC上的射影

∵ BC⊥AC

∴ BC⊥PC

△                                                                                                                                               POB中，

△                                                                                                                                               PBC中，BC=ABsin600=2a

∴ AC=a

∴ PC=