辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题及解析(八)(351～400题) 练习

高中立体几何典型500题及解析(八)(351~400题) 351. （1）已知直线a∥平面，a⊥平面．求证：⊥． 　　　 （2）已知三个平面、、，∥，⊥．求证：⊥． 解析：（1）如图答9-41，∵　a∥，∴　在上任取一点 ，过a与A确定平面，设 ，则 ．∵　a⊥，∴　 ．∵　 ，∴　⊥． 　　　 （2）在上任取P，设 ，在内作 ，∵　⊥，∴　PQ⊥．∵　∥，∴　PQ⊥，∵　PQ，∴　⊥． 352. 在正方体 中，求二面角 的大小． 解析：如图9-43，在平面 内作 ，交 于E．连结 ，设正方体棱长为a，在△ 和△ 中， ， ， ，∴　△ ≌△ ，∵　 ，∴　 ，∴　 为二面角 的平面角．在Rt△ 中， ，∴　 ，∴　 ,在△ 中， ， ， ， ， 353. 如图9-50，点A在锐二面角-MN-的棱MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成的∠PAM为45°，与面所成的角为30°，求二面角-MN-的大小． 解析：如图答9-44，取AP上一点B，作BH⊥于H，连结AH，则∠BAH为射线AP与平面所成的角，∴　∠BAH=30°，再作BQ⊥MN，交MN于Q，连结HQ，则HQ为BQ在平面内的射影．由三垂线定理的逆定理，HQ⊥MN，∴　∠BQH为二面角-MN-的平面角． 图答9-44 　　设BQ=a，在Rt△BAQ中，∠BQA=90°，∠BAM=45°，∴　 ，在Rt△BAH中∠BHA=90°，∠BAH=30°，∴　 ．在Rt△BHQ中，∠BHQ=90°，BQ=a， ， ，∵　∠BQH是锐角，∴　∠BQH=45 即二面角-MN-等于45°． 354. 已知直线l⊥平面α，直线m 平面β，有下面四个命题： (1)α∥β l⊥m (2)α⊥β l∥m (3)l∥m α⊥β (4)l⊥m α∥β 其中正确的两个命题是( ) A.(1)与(2) B.(3)与(4) C.(2)与(4) D.(1)与(3) 分析：本题主要考查直线与平面、平面和平面的位置关系，以及空间想象能力和逻辑推理能力. 解法一：在l⊥α，m β的前提下，当α∥β时，有l⊥β，从而l⊥β，从而l⊥m，得(1)正确；当α⊥β时，l垂直于α、β的交线，而m不一定与该交线垂直，因此，l与m不一定平行，故(2)不正确.故应排除A、C.依题意，有两个命题正确，不可能(3)，(4)都正确，否则连同(1)共有3个命题正确.故排除B，得D. 解法二：当断定(1)正确之后，根据4个选择项的安排，可转而检查(3)，由l∥m,l∥α知m⊥α，从而由m α得α⊥β.即(3)正确.故选D. 解法三：不从(1)检查起，而从(2)、(3)、(4)中任一命题检查起，如首先检查(4)；由l⊥α,m⊥β不能否定m是α、β的交线，因此α∥β不一定成立，故(4)是不正确的，因此可排除B、C.依据A和D的内容可知(1)必定是正确的，否则A和D也都排除，以下只要对(2)或(3)检查，只须检查一个便可以做出判断. 355. 一张正方形的纸ABCD，BD是对角线，过AB、CD的中点E、F的线段交BD于O，以EF为棱，将正方形的纸折成直二面角，则∠BOD等于( ) A.120° B.150° C.135° D.90° 解析：本题考查线面垂直，面面垂直，余弦定理，以及空间与平面问题的转化能力。 如图，设正方形边长为a，由O为正方形中心，则BO＝ a,DO＝ a，连AB，因为DA⊥AE，DA⊥BE，故DA⊥面AEB，所以DA⊥AB，故ΔDAB为直角三角形，BD＝ ＝ ＝ = a. 又在ΔBOD中，由余弦定理可得 cos∠BOD＝ ＝ ＝- ，所以∠BOD＝120° 评析：本题为折叠问题，此类问题应该分清折叠前后的哪些量发生了变化，此外，还要注意找出空间转化为平面的途径，几何计算的准确性等。 356. 已知平面α∥平面β，B，D∈β，AB⊥CD，且AB＝2，直线AB与平面α所成的角为30°，则线段CD的长为取值范围是( ) A.［1，+∞］ B.(1， ) C.( ， ) D.［ ，+∞) 解析：本题考查直线与直线所成的角，直线与平面所成的角的概念。线面垂直的判定和性质，以及空间想象能力和几何计算. 解 如图所示，过D作DA′∥AB交平面α于A′.由α∥β，故DA′＝AB＝2，DA′与α成30°角，由已知DC⊥AB，可得DC⊥DA′，所以DC在过DC且与DA′垂直的平面γ内，令 ∩α＝l，在 内，DC⊥