辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题附加题题库及解析(九-十)(401～550题) 练习

高中立体几何典型500题及解析(九)(401~450题)

401.  如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少?

解析： 设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ.

∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A—CD—B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°的角，于是AB＝＝≥.

∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为.

 

402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.

已知：从二面角α—AB—β内一点P，向面α和β分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证：∠CPD和二面角的平面角互补.

证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E，

∵PC⊥α，PD⊥β

∴PC⊥AB，PD⊥AB

∴CE⊥AB，DE⊥AB

又∵CEα，DEβ，∴∠CED是二面角α—AB—β的平面角.

在四边形PCED内：∠C＝90°，∠D＝90°

∴∠CPD和二面角α—AB—β的平面∠CBD互补.

403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数.

已知：二面角α—ED—β，平面过ED，A∈，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C.

求证：AB∶AC＝k(k为常数)

证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF.

∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE.

∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE.

∠BFA，∠AFC分别为二面角α—DE—，—DE—β的平面角，它们为定值.

在RtΔABF中，AB＝AF·sin∠AFB.

在RtΔAFC中，AC＝AF·sin∠AFC，得：

＝＝定值.

 

404.  如果直线l、m与平面α、β、满足l＝β∩，l∥α,mα和m⊥.那么必有(    )

A.α⊥且l⊥m             B.α⊥且m∥β

C.m∥β且l⊥m    D.α∥β且α⊥

解析：∵mα,m⊥.  ∴α⊥.

又∵m⊥,β∩＝l.  ∴m⊥l.

∴应选A.

说明  本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.

 

405.  如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函数表示)；(2)点A到平面PBC的距离.

解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′为矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中.

∵∠ADC＝arcsin,即⊥D′DC＝arcsin，

∴sin∠CDD′＝＝

∴CD＝a  ∴D′D＝2a

∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC

又在RtΔABC中，AC＝＝a,

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB.

在RtΔPAB中，可得PB＝a.

在RtΔPAC中，可得PC＝＝a.

在RtΔPAD中，PD＝＝a.

∵PC2+CD2＝(a)2+(a)＝8a2＜(a)2

∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90°

∴作PE⊥CD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP为二面角P—CD—A的平面角.

在RtΔAED中∠ADE＝arcsin，AD＝3a.

∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a·＝a.

在RtΔPAE中，tan∠PEA＝＝＝.

∴∠AEP＝arctan，即二面角P—CD—A的大小为arctan.

(2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB.

∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB.

∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC.

AH为点A到平面PBC的距离.

在RtΔPAB中，AH＝＝＝a.

即A到平面PBC的距离为a.

说明  (1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，从而∠PEA为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.

 

406.  如图，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点.

(1)求二面角α—l—β的大小；