辽宁省沈阳市第十中学2021届高考数学二轮复习立体几何典型500题附加题题库及解析(九-十)(401～550题) 练习

高中立体几何典型500题及解析(九)(401~450题) 401. 如图，在ΔABC中，∠ACB＝90°，BC＝a,AC＝b,D是斜边AB上的点，以CD为棱把它折成直二面角A—CD—B后，D在怎样的位置时，AB为最小，最小值是多少? 解析： 设∠ACD＝θ，则∠BCD＝90°-θ，作AM⊥CD于M，BN⊥CD于N，于是AM＝bsinθ,CN＝asinθ. ∴MN＝｜asinθ-bcosθ｜，因为A—CD—B是直二面角，AM⊥CD，BN⊥CD，∴AM与BN成90°的角，于是AB＝ ＝ ≥ . ∴当θ＝45°即CD是∠ACB的平分线时，AB有最小值，最小值为 . 402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补. 已知：从二面角α—AB—β内一点P，向面α和β分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D.求证：∠CPD和二面角的平面角互补. 证：设过PC和PD的平面PCD与棱AB交于点E， ∵PC⊥α，PD⊥β ∴PC⊥AB，PD⊥AB ∴CE⊥AB，DE⊥AB 又∵CE α，DE β，∴∠CED是二面角α—AB—β的平面角. 在四边形PCED内：∠C＝90°，∠D＝90° ∴∠CPD和二面角α—AB—β的平面∠CBD互补. 403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数. 已知：二面角α—ED—β，平面 过ED，A∈ ，AB⊥α，垂足是B.AC⊥β，垂足是C. 求证：AB∶AC＝k(k为常数) 证明：过AB、AC的平面与棱DE交于点F，连结AF、BF、CF. ∵AB⊥α，AC⊥β.∴AB⊥DE，AC⊥DE. ∴DE⊥平面ABC.∴BF⊥DE，AF⊥DE，CF⊥DE. ∠BFA，∠AFC分别为二面角α—DE— ， —DE—β的平面角，它们为定值. 在RtΔABF中，AB＝AF·sin∠AFB. 在RtΔAFC中，AC＝AF·sin∠AFC，得： ＝ ＝定值. 404. 如果直线l、m与平面α、β、 满足l＝β∩ ，l∥α,m α和m⊥ .那么必有( ) A.α⊥ 且l⊥m B.α⊥ 且m∥β C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥ 解析：∵m α,m⊥ . ∴α⊥ . 又∵m⊥ ,β∩ ＝l. ∴m⊥l. ∴应选A. 说明 本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力. 405. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝ ，AB＝a,AD＝3a,且∠ADC＝arcsin ，又PA⊥平面ABCD，AP＝a.求：(1)二面角P—CD—A的大小(用反三角函数表示)；(2)点A到平面PBC的距离. 解析：(1)作CD′⊥AD于D′，∴ABCD′为矩形，CD′＝AB＝a，在RtΔCD′D中. ∵∠ADC＝arcsin ,即⊥D′DC＝arcsin ， ∴sin∠CDD′＝ ＝ ∴CD＝ a ∴D′D＝2a ∵AD＝3a,∴AD′＝a＝BC 又在RtΔABC中，AC＝ ＝ a, ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AD，PA⊥AB. 在RtΔPAB中，可得PB＝ a. 在RtΔPAC中，可得PC＝ ＝ a. 在RtΔPAD中，PD＝ ＝ a. ∵PC2+CD2＝( a)2+( a)＝8a2＜( a)2 ∴cos∠PCD＜0，则∠PCD＞90° ∴作PE⊥CD于E，E在DC延长线上，连AE，由三垂线定理的逆定理得AE⊥CD，∠AEP为二面角P—CD—A的平面角. 在RtΔAED中∠ADE＝arcsin ，AD＝3a. ∴AE＝AD·sin∠ADE＝3a· ＝ a. 在RtΔPAE中，tan∠PEA＝ ＝ ＝ . ∴∠AEP＝arctan ，即二面角P—CD—A的大小为arctan . (2)∵AD⊥PA，AD⊥AB，∴AD⊥平面PAB. ∵BC∥AD，∴BC⊥平面PAB. ∴平面PBC⊥平面PAB，作AH⊥PB于H，∴AH⊥平面PBC. AH为点A到平面PBC的距离. 在RtΔPAB中，AH＝ ＝ ＝ a. 即A到平面PBC的距离为 a. 说明 (1)中辅助线AE的具体位置可以不确定在DC延长线上，而直接作AE⊥CD于E，得PE⊥CD，从而∠PEA为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求. 406. 如图，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点. (1)求二面角α—l—β的大小； (2)求证：MN⊥AB； (3)求异面直线PA与MN所成角的大小. 解析：(1)连PD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l.又PA⊥l，∴PD⊥l. ∵P、D∈β，