解密04 函数的应用（讲义）-【高频考点解密】2021年高考数学（理）二轮复习讲义+分层训练

解密04 函数的应用 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 函数的零点 高考对函数应用的考查主要是函数零点个数的判断、零点所在的区间．近几年全国卷考查函数模型及其应用较少，但也要引起重视. 2018课标全国Ⅰ9 2018课标全国Ⅲ15 2017课标全国Ⅲ6 2017课标全国Ⅲ11 ★★★★ 函数模型及其应用 2019课标全国Ⅱ4 2020课标全国Ⅲ4 ★★ 考点一 函数的零点 题组一 函数零点（方程的根）所在区间的判断 调研1 设是方程的解,且),则__________. 【答案】99 【解析】令,则函数在定义域上单调递减,则,因为,所以函数的零点在内,即. ☆技巧点拨☆ 确定函数的零点(方程的根)所在的区间时，可以利用零点的存在性定理转化为判断区间两端点对应的函数值是否异号来确定，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与 轴的交点来确定. 题组二 函数零点个数的判断 调研2 函数 的零点个数为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【解析】函数 的零点个数也就是方程 的解的个数. 当 时， ，而 不可能有交点.而 不能为0，当 时，对 取倒数， 也就是求函数 图象的交点个数.当 和 时，两个函数相等，结合两个函数图象（如下图），可知只能有2个交点.故原函数有2个零点，故选C. ☆技巧点拨☆ 函数零点个数的判断方法 （1）解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． （3）数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. 题组三 函数零点的应用问题 调研3 函数 ，关于 的方程 有4个不相等实根，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意画出函数 的图象，如图. 令 ，原问题等价于关于 的方程 有两个根 ，每个 值对应两个x值，故有两种情况： ； . 当属于情况①时，将 代入 得到 ， 此时方程 的根是确定的，一个为0，一个为2，不符合题意； 当属于情况②时， 【名师点睛】函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． ☆技巧点拨☆ 高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中．常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略． 1．已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围 根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性； ②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； ③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 2．已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围 一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题． 3．借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系 要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小．若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法： ①求出零点，直接比较大小； ②确定零点所在区间； ③同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小. 考点二 函数模型及其应用 题组一 二次函数模型的应用 调研1 如图所示，用总长为定值 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开. （1）设场地面积为 ，垂直于墙的边长为 ，试用解析式将 表示成 的函数，并确定这个函数的定义域； （2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1） ， ；（2） 时， . 【解析】（1）设平行于墙的边长为 ，则篱笆总长 ，即 ， ∴场地面积 ， . （2） ， ， ∴当且仅当 时， . 综上，当场地垂直于墙的边长 为 时，最大面积为 . 题组二 指数函数、对数函数模型的应用 调研2 在热学中,物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述,如果物体的初始温度是,经过一定时间后,温度将满足=,其中是环境温度,称为半