第1讲 正弦、余弦、正切、余切（讲义）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）

第1讲 正弦、余弦、正切、余切 知识梳理 1.角的概念的推广 （1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围. （2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角. （3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为. （4）角在“到”范围内，指. 2.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量 角的单位制称为弧度制． 弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小 (1) 角度制与弧度制换算关系：弧度 ，， (2) 常见特殊角的角度数与弧度数对照表： 角度数 弧度数 3.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r，圆心角为α弧度，弧长为l，面积为s，则有 由定义，在弧度制中，半径为，弧度数为的弧长. 在角度制中，半径为、圆心角为的弧长. 在弧度制中，半径为，弧度数为的扇形面积. 在角度制中，半径为，圆心角为的扇形面积 4.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以 原点为圆心、以１为半径的圆为单位圆． 5.正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o 重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 6. 三角函数在各个象限的符号 必须熟悉每个三角函数在各象限的符号： ， ， ， 还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅，为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅，为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅，为正，其余为负. 一、角概念的推广 例题解析 例1．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知，下列各组角中，终边相同的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】利用终边相同的角的概念，对选项进行分析即可解得. 【详解】A不是终边相同的角，终边在x轴的正半轴上，终边在x轴轴上； B是终边相同的角； C不是终边相同的角 终边落在直线上， 终边落在 两条射线上； D不是终边相同的角，终边落在坐标轴上，终边落在y轴上.故选：B 【点睛】本题考查了终边相同的角的概念，属于简单题目，解题时可以应用排除法，对k取值进行比较验证. 例2．（2020·上海市建平中学高一期中）已知是第二象限角，则是（ ） A．锐角 B．第一象限角 C．第一、三象限角 D．第二、四象限角 【答案】C 【分析】根据是第二象限角，得到,再得到的范围判断。 【详解】因为是第二象限角，所以, ,当k为偶数时，是第一象限角， 当k为奇数时，是第三象限角，所以是第一、三象限角.故选：C 【点睛】本题主要考查象限角，还考查了理解辨析的能力，属于基础题。 例3.（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由终边相同的角的性质逐项判断即可得解. 【详解】对于A，因为，所以与终边相同； 对于B，因为，所以与终边相同； 对于C，因为，所以与终边相同； 对于D，若，解得，所以与终边不同. 故选：D. 例4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知，则的终边在第________象限 【答案】三 【分析】利用终边相同的角的公式化简可得. 【详解】, 在第三象限，在第三象限.故答案为：三 【点睛】本题考查终边相同的角所在的象限.所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：或． 例5．（2020·上海市莘庄中学高一月考）终边在轴负半轴上的角的集合为___________________ 【答案】 【分析】先找到一个终边在轴负半轴上的角，然后再加上周期．用集合表示即可． 【详解】终边在轴负半轴上的一个角为，因此终边在轴负半轴上的角的集合为，故答案为：． 【点睛】本题考查终边相同角的表示，掌握终边相同角的概念是解题基础． 例6.（2020·上海市金山中学高一期中）角是第_______象限角． 【答案】三 【分析】根据给的角度变形为，然后利用终边相同的角的关系式即可得到答案. 【详解】因为, 所以与是终边相同的角，而位于第三象限， 所以角是第三象限角.故答案为：三 【点睛】本题主要考查终边相同的的角，属于基础题. 例7（2020·上海浦东新区·高一期中）与