4.1 条件概率与事件的独立性-新教材高中数学选择性必修第二册【新课程同步训练】学习手册（人教B版）

第四章 概率与统计 学 知 识 梳 理 知识点 条件概率 1. 定义 一般地， 当事件 B 发生的概率大于 0 时 （即 P （ B ） >0 ）， 已知事件 B 发生的条件下事件 A 发生的 概率， 称为条件概率， 记作 P （ A|B ） . 2. 求条件概率的两个公式 （ 1 ） P （ A|B ） = n （ AB ） n （ B ） . （ 2 ） P （ A|B ） = P （ AB ） P （ B ） . 典 例 精 析 知识点 条件概率 典例 1 某地区气象台统计， 该地区下雨的概率是 4 15 ， 刮三级以上风的概率为 2 15 ， 既刮三级以上的 风又下雨的概率是 1 10 ， 设 A 为下雨， B 为刮三级以 上的风 . 求： （ 1 ） P （ A|B ）； （ 2 ） P （ B|A ） . 解析： 由题意知 P （ A ） = 4 15 ， P （ B ） = 2 15 ， P （ AB ） = 1 10 ， 则有 （ 1 ） P （ A|B ） = P （ AB ） P （ B ） = 1 10 2 15 = 3 4 . （ 2 ） P （ B|A ） = P （ AB ） P （ A ） = 1 10 4 15 = 3 8 . 典例 2 抛掷红、 蓝两颗骰子， 设事件 A 为 “蓝色 骰子的点数为 3 或 6 ”， 事件 B 为 “两颗骰子的点数 之和大于 8 ” . （ 1 ） 求 P （ A ）， P （ B ）， P （ AB ）； 第四章 概率与统计 4.1 条件概率与事件的独立性 4.1.1 条件概率 方法归纳 （ 1 ） 条件概率的判定： 若题目中出现 “已知” “在……前提下 （条件下）” 等字眼时， 一 般为条件概率； 若题目中没有出现上述字 眼， 但已知事件的出现会影响所求的概率 时， 也为条件概率 . 求条件概率问题要把 握是在什么前提条件下的概率问题， 也就 是要搞清事件 A ， 事件 B ， 以及事件 AB 和它们发生的概率， 再利用条件概率公式 进行求解 . （ 2 ） 条件概率公式揭示了条件概率 P （ B|A ） 与 事件 P （ A ）， P （ AB ） 三者之间的关系， 由 条件概率公式可以解决下列两类问题 . ① 已知 P （ A ）， P （ AB ）， 求 P （ B|A ） . ② 已知 P （ A ）， P （ B|A ）， 求 P （ AB ） . 要注意区分 P （ AB ） 与 P （ A|B ）， 前者是指两个 事件同时发生的概率， 即事件积的概率； 后者 是求在 B 已经发生的条件下 A 也发生的概率， 是条件概率 . 19 学 高中数学选择性必修 第二册 （人教 B 版） （ 2 ） 当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时， 两颗骰子 的点数之和大于 8 的概率为多少？ 解析： （ 1 ） 设 x 为掷红色骰子得的点数， y 为掷蓝 色骰子得的点数， 则所有可能的事件与 （ x ， y ） 建 立一一对应的关系， 根据题意作图， 如图所示 . 显然 P （ A ） = 12 36 = 1 3 ， P （ B ） = 10 36 = 5 18 ， P （ AB ） = 5 36 . （ 2 ） 法一： P （ B|A ） = n （ AB ） n （ A ） = 5 12 . 法二： P （ B|A ） = P （ AB ） P （ A ） = 5 36 1 3 = 5 12 . 典例 3 一个盒子中有 6 个白球、 4 个黑球， 每次 从中不放回地任取 1 个， 连取两次， 求第一次取到 白球的条件下， 第二次取到黑球的概率 . 解析： 法一： 记 “第一次取到白球” 为事件 A ， “第二次取到黑球” 为事件 B. 显然， 事件 “第一次取到白球， 第二次取到黑球” 的概率为 P （ AB ） = 6×４ 10×９ = 4 15 . 由条件概率的计算公式， 得 P （ B|A ） = P （ AB ） P （ A ） = 4 15 6 10 = 4 9 . 所以第一次取到白球的 条件下， 第二次取到黑球的概率是 4 9 . 法二： 这个问题还可以这样理解： 第一次取到白 球， 则只剩 9 个球， 其中 5 个白球， 4 个黑球， 在 这个前提下， 第二次取到黑球的概率是 4 9 . 典例 4 一个家庭中有两个小孩， 假定生男、 生女 是等可能的 . 已知这个家庭有一个是女孩， 问另一 个小孩是男孩的概率是多少 . 解析： 一个家庭有两个小孩只有 4 种可能： { 两个 都 是 男 孩 } ， { 第 一 个 是 男 孩 ， 第 二 个 是 女 孩 } ， { 第一个是女孩， 第二个是男孩 } ， { 两个都是女 孩 } . 由题意知