第2章 第4节 二次函数与幂函数-【成功方案】2021新高考数学专题复习艺考生专用

艺术生 第四节二次函数与幂函数 思考:函数f(x)-ax2+bx+c(a≠0)一定在顶点处取到最大 教材梳理 (小)值吗? 提示:不一定,因为最值的取得还与自变量的取值区间有关, 知识点1幂函数 当 不在自变量的取值区间内时,则最值就不能在顶 (1)幂函数的定义:形如y=x(a∈R)的函数称为幂函数,其点处取到 中x是自变量,a是常数 常用结论 (2)五种幂函数的图象 1.幂函数的性质 y↑y=x3y=xy=x (1)幂数的图象过定点(1,1),如果幂数的图象与坐标 轴相交,则交点一定是原点 在[0,+∞)上为增函数 在 )上为减函数 2.关于二次函数的几个常用结论 (1)函数f(x)=a(x-h)2+k(a>0),x∈[p,q]的最值.若 h∈[p,q],则x-时有最小值k,最大值是f(p)与f(q) (3)五种幂函数的性质 中较大者;若h[g],则f(p),f(q)中较小者为最小值 函数式 定义域 值域 较大者为最大值 (2)若f(x)=ax2+bx+c(a≠0), y—x ①当 寸,对x∈R恒有f(x)> R R ②当!0, 时,对x∈R恒有f(x)< 0 L0,+∞) xx∈R,且x≠0}y|y∈R,且y≠0 基础夯实 思考:函数的图象能经过第四象限吗 提示:不能.因为当x>0时,y=x> 、走出误区 知识点2二次函数的图象与性质 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y=2x3是幂函数 6x+c(a>0) c(a<0) (2)当m>0时,幂函数y=xn在(0,+<∞)上是增函数 (3)二次函数y=ax2-bx+c(x∈R)不可能是偶函数 图象 (4)二次数y=ax2bxc(x∈[a,b)的最值一定是 定义域 答案】(1)×(2)(3)×(4) 2.(易错点)若函数y=mx2+x-2在[3,+∞)上是减函数 值域 则m的取值范围是 【解析】当m-0时,函数在给定区间上是增函数,不合题 在x∈「b,+∞)上在x∈(,2上单意:当m≠0时,函数是二次函数,其图象的对称轴为直线 单调性单调递增,在x∈ 调递增,在x∈x 依题意知 解得m≤ H.单调 2,+c)上单调递减 递减 【答案】(-∞,-4 奇偶性当b-0时为偶函数当b/0时为非奇非偶函数 、走进教材 3.(知识点1)已知幂函数f(x)-k·x的图象过点 顶 坐标 则k十 对称性图象关十直线x-b对称 B.1 第二章函数、导数及其应用 【解析】因为f(x)=k·x是幂函数,所以k=1.又f(x) t2+5t-1(t≤-) 的图象过点(2),所以(是)一,所以一,所以k h(t)= 42 答案】 4.(知识点2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,若y=f(x)在区 解题心得】次数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区 间_-4,6]上是单调函数,则实数a的取值范围为 间[m,n上的最值 1)当-2a<m时,函数在区间m,n]上单调递增,最小 【解析】由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x-值为f(m),最大值为f(n) a,所以要使∫(x)在「-4,61上是单调函数,应有-a≤ 4或-a≥6,即a-6或a≥4 (2)当m≤-2≤n时,最小值为 【答案】(-cx,-6U4,- 大值为∫(m)或f(n)(m,n与-2较远的一个为最大); 典例精讲 3)当一b>x时,函数在区间m,n上单调递减,最小 值为f(n),最大值为f(m) 【例1】已知二次函数f(x)同时满足条件: 【例3】已知幂数f(x)=xm2m3(m∈N)的图象 ②f(x)的最大值为15 关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1) ③f(x)-0的两根立方和等于17,求f(x)的解析式.<(32a)的实数a的取值范围 【自主解答】由f(1+x)-f(1-x),知f(x)图象关于 【思路点拨】由f()=xm3(m∈N*)的图象关于 1对称,又其最大值为15 轴对秋知m2-2m-3为偶数 c)在(0,+∞)上是 ∴设f(x)-a(x-1)2+15(a≠0) 函数,m2-2m-3<0,从确定m的值,再由函数f(x)的 单调泩求a約取值范 设∫(x)-0的两根为x1,x2·则 【自主解答】∵函数f(x)在(0,十∞)上单调递减, 3<0,解得-1< 而x十x=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2) ∈N“,∴m=1或 又函数f(x)的图象关于y轴对称, 3·2(1+)=2 2m-3是偶数 3为奇数,12-2×1-3=-4为偶 17,即 在(—∞,0),(0,-∞)上均 【解题心得】求二次函数的解析式,关键是灵活选取二氵为减函数 次函数解析式的形式,利用所给出的条件,根据二次函数的 (32a)等价于a+1> 泩质进行求解. 【例2】已知f(x)=x2+3x-5,x∈[t,t-1