第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【成功方案】2021新高考数学专题复习艺考生专用

第二章函数、导数及其应用 (3)性质法 504[f(1)f(2)+f(3)+f(4)]f(504×4+1 设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公:+f(504×4+2 共定义域上,有下面结论 504(1+3-1+)+1+3 f(x)g()f(a)+g() f(x)-g(x)f(x)g()f(g(a) 偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数 【解题心得】判断函数的周期性只需证明f(x+T) 偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数」∫(x),函数的周期性常与函数的其他性质综合命题 奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数 奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数 高考再现 【例2】已知f(x)是奇两数,且当x>0时,f( x-2|,求x<0时,f(x)的表达 1.(2020·新高考I,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在 思路点拨】x< (-∞,0)单调递减,且f(2)-0,则满足xf(x-1)≥0的x的 取值范围是 由奇函数求f(x)的表达式 A.[-1,1]UL3,+∞) B.[-3,-1U[0,1 自主解答】设x<0,则一x>0 D.[1,0]∪L1,3] 【解析】本题考查函数的性质与不等式的求解.奇函数 又∵f(x)是奇函数,有f(-x)--f(x), f(x)在(-∞,0)单调递减,且∫(2)=0,则f(x)在(0 ∴-f(x) 2 ∞)单调递减,且f(-2)=0.由xf(x-1)≥0,得 故当x<0时,f(x)-xx+2 f(x-1)≥0 2忘x-1≈0 【解题心得】(1)在哪个凶间求解析式,x就改在那个区:(x>0 间 解得一1≤x≤0或1≤x≤3.故选D. (2)然后要利用已知区问的解析式进行代入 【答案】D 利用f(x)的奇偶性把f(-x)写成一f(x)或f(x).2.(2019·全国卷)设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x) 从而解出f(x) e-1,则当x<0时,f(x) (4)也可利用奇偶函数的对称性求解,本题中f(x)为奇 函数,其图象关于原点对称,把x>0时,f(x)的解析式:y x|x-2|中的x、y分别换为-x,-y即得所求 【解析】设x<0,则,x>>0 【例3】(1)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x+:∴∫(-x) 设f(x)为奇函数 求证:f(x)是周期函数 即f(.x) (2)已知定义在R上的函数满足f(x-2)= x)x∈氵【答案】D 3.(2018全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(∞,+∞)的奇 (0,2]时,f(x)=2x-1.求f(1)十f(2)+f(3) 函数,满足f(1-x)-f(1+x).若f(1)-2,则f(1)+ f(2018)的值 f(2)+f(3) f(50)= 【思路点拨】(1)证f(x+T)=f(x) A.-50 (2)首先f(x)在一个周期上的表达式,然后求一个周【解析】∵f(x)是奇函数,;f(x)-f(x) 期上f(x)的值,最后求f(x)所有值中出现的周期的个数 ∴f(1-x)=-f(x-1),由f(1-x)=f(1+x 【自主解答】(1)证明:∵f(x+1)=-f(x) f(x-1)=f(x+1),∴f(x-2)=-f(x) 函数f(x)是周期为4的周期函数 ∴f(x)是以2为周期的周期函数. 由f(x)为奇函数及其定义域得f(0)=0 (2)∵f(x-2)一 ∴f(x)的图象关于直线x-1对称, 数y=f(x)的周期T 又f(1)=2,∴f(-1)=-2 又x∈(0,2]时,f(x)=2x-1 f(1)f(2)|f(3)f(4)=f(1)|f(2)|f(-1) f(1)=1,f(2)=3,f(3)= f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(49)-f(50)=0× 12+f(49)-f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2 故选C. ∴f(1)+f(2)十f(3)+…f(2018) 【答案】C