第2章 第2节 函数的单调性与最值-【成功方案】2021新高考数学专题复习艺考生专用

第二章函数、导数及其应用 第二节函数的单调性与最值 (3)在区间D上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的 教材梳理 和仍是减函数 ()网数f(g(x)的单调性与数y=f(u)和u=g(x)的单 知识点1函数的单调性 调性的关系是“同增异减 (1)增函数、减函数 基础夯实 增函数 减函数 般地,设函数∫(x)的定义域为I:如果对于定义域 、走出误 内某个区间D上的任意两个自变量的值x1x2 1.思考辨析(在括号内打“ 定义 时,都有f(x <2时,都有f(x1)>(1)函数y一2的单调递减区间是(-∞,0)U(0,+∞) <f(x2),邢么就说函数 (x2),那么就说两数f(x) f(x)在区间D上是增 在区问D上是减函数 函数 (2)对于函数f(x),x∈D,若任意的x1,x2∈D,且(x1 x2)·Lf(x1)-f(x2)]>0,则函数f(x)在D上是增函 y=fx) (3)函数y=f(x)在「1,+∞)上是增函数,则函数的单调 描述 递增区间是_1,一∞ oxi x2 a (4)函数f(x)=log5(2x-1)的单调增区间是(0,+∞) )单调区间的定义 如果函数y-f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说【答案】(1)×(2)(3)×(4)× 函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做2.(易错点)(1)若函数f(x)-x2+2(a1)x+2在区间 函数y=f(x)单调区间 ∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是 思考:若f(x)的单调递减区间为(a,b)和(c,d),设x1∈(a,;(2)若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的单调递减区间为 b),x∈(c,a),且x1<x2,则f(x1)>f(x2)成立吗? (-∞,4].则a的值为 提示:不成立,如f( 【解析】(1)函数图象的对称轴为直线x=1-a,由1 知识点2函数的最值 (2)函数图象的对称軸为直线x=1-a,由1-a=4,得a 前提设函数y-f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 ①对于任意的x∈I,都③对于任意x∈I,都有f(x 【答案】(1)(-c 有f(x)≤M ≥M; 走进教材 ②存在x∈1,使得f④存在x0∈I,使得f(x0)3.设函数f(x)=(3a-1)x+4ax≤1 是R上的减函数,那 (x)-M 实数a的取值范围是 结论 M为函数y=f(x)最M为函数y=f(x)的最N 大值 小值 思考:若数的最值存在,那么它一定是值域中的元素吗 【解析】当x≤1时,f(x)=(3a-1)x+4a为减函数,则 用结论 函数单调性的常用结论 3a-1<o,即a<3;当x>1时,f(x)=1gx为减函数 (1)对yx1,x2D(x≠2),x12号()在D则0<a<1,且3a1+4a=0,7≤a<1 上是减函数 【答案】 (2)对勾函数y=x+a(a>0)的增区间为(-∞,-√a和1(知识点2函数∫(x)=2,在2,6的最大值和最小值 La,+∞],减区间为一√a,)和(0,a]. 分别是 艺术生 【解析】画数f()2=2x2a=1)+2 由图象知f(x)的增区间为(一∞,-1和[0,1 上单调递减、、/6)-26,。在2, (2)函数∫(x)的定义域为{xx≠O} 【答案】412 令∫(x)>0得x<-3或x>3 得3<x<0或0<x<3 典例精讲 ∴f(x)的增区间是(∞,3]和[3,+∞),减区间是 【解题心得】确定函数单调性(区间)的3种常用方法 【例1】讨论函数f(x)=1(a≠0)在(-1,1)上的单 (1)定义法:一般步骤为设元→作差→变形→判断符号 →得出结论.其关键是作差变形,为了便于判断差的符号,通 调性. 常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式,再结合变量的范 【思路点拨】先将函数解析式的结构特征分祈、转化,围、假定的两个白变量的大小关系及不等式的性质进行判 然后裉椐解祈式特征选拯合理的方法求解 断.(如例1题) 【自主解答】解:法一:设-1<x1<x2<1 (2)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x) f(x)=a( 的图象易作出,则可由图象的直观性确定它的单调性.(如例 则f(x1)-f(x2)=a(1+-7 2题) a(1+ 3)导数法:利用导数取值的正负确定两数的单调性. a(x2-x1) (如例1题 【例3】(1)(2020·哈尔滨联考)已知函数f(x)的图象关 由于-1<x1<x2<1 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0 于直线x=1对称,当x2x1>1时,[f(x)-f(x1)](x 故当d>0时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2) x1)<恒成立,设a=_1 b=f(2),c=f(e), a,b, c 数∫(x)在(-1,1)上单调减; 的大小关