第3章 第8节 正弦定理和余弦定理的应用举例-【成功方案】2021新高考数学专题复习艺考生专用

第三章三角函数、三角恒等变换解三角形 a2+c2-b2 2acsin b-aac 由余弦定理,得cosB ∵B∈(0,π),B一丌 由余弦定理知62-a2+c2-2 accos B=(a+c)2-2ac(1 ABC的面积 第八节正弦定理和余弦定理的应用举例 教材硫理 基础夯实 知识点解三角形的实际应用 走出误区 (1)有关测量中的常用术语 1.思考辨析(在括号内打“”或“×” 术语名称 术语意义 图形表示 (1)从A处望B处的仰角为a,从B处望A处的俯角为, 则a,P的关系为a+=180 在日标视线与水平 日标 线所成的角中,目标视 视线 (2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为0.2· 仰角与线在水平视线上方的 错仰角 (3)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与 俯角叫作仰角,目标视线在线俯角视线 标点之间的位置关系 水平视线下方的叫做 目标 (4)方位角大小的范围是[0,2x),方向角大小的范围一般 俯角 视线 9 从某点的指北方向线 【答案】(1)×(2)×(3)(4) 北 起按顺时针方向到目 2.(易错点)如图所示,两座灯塔A 方位角标方向线之间的夹角 135°东 和B与海岸观察站C的距离相 叫作方位角方位角的 等,灯塔A在观察站南偏西40°的西 范围是[0°360°) 方向,灯塔B在观察站南偏东60°A2 的方向,则灯塔A相对于灯塔B 南 正北或正南方向线与北 北 的方向角是 目标方向线所成的锐 东_东【解析】由条件及题图可知,∠A 方向角 角,通常表达为北(南) ∠BCD-60°,所以∠CBD-30°,所以∠DBA-10°,因此灯 偏东(西)g 北偏东 南偏西α 塔A在灯塔B南偏西80°的方向 【答案】南偏西80° 注意]区分两种角 、走进教材 (1)方位角:从正北方向起桉顺时针转到目标方向线之间的氵3.如图所示,设A,B两点在河的两岸, 水平夹角 测量者在A所在的同侧河岸边选 (2)方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 定一点C,测出AC的距离为50m, )解三角形实际问题的一般步骤 ∠ACB=45°,∠CB=105°后,就可 以计算出A,B两点的距离为 析 解题意,分析已知与未知,画出示意图 AB 根据已知条件与求解目标,把已知量与求 【解析】由正孩定理得n∠ACB 建馍 量尽量集屮在有关的三角形屮,建立 解三角形的模型 求解 利川正、余弦定理解三角形,求得数学模 又∵B=3°, 检骋 检验上述所求出的解是否只有实际意 AB-ACsing 50√2(m) B 从而得出实际问题的解 【答案】50√2 91 艺术生 1如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选取与塔底B在同 例2】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=α,米后,望见塔在东北方向,若沿途测得塔顶的最人仰角为 ∠BDC=β,CD=s,在点C测得塔顶A的仰角为θ则塔高∶30°,求塔高 AB一 思路点拨】题意画图,某人在C欠,AB为堪高,他 沿CD前进,CD-40米,此时 从C到D沿途测 塔的仰角,只有乃到测试点的茈离最短时,仰角才最大,这是 因为 AEB 为定值,BF最小时,仰角最大.要 求出塔高AB,必须先BE,而要求BE,需先求BD(或 【解析】在△BCD中 sin sin(a+9) 在Rt△ABC中,tan0 AB AB=BC·tan=s·smB·tanO sin(ate) 【自主解答】如图,某人在C处,AB为塔高,他沿CD 答案】 s.sin g.tan 前进,CD=40,此时∠DBF=45°,过点B作BE⊥CD于E sin (ate 则∠AEB=3 典例精讲 【例1】江岸边有一炮台高39m,江中有两条船,由炮 台顶部测得俯角分别为15和30°,而且两条船与炮台底部连 线成3°角(炮台底部与船只在同一个水平面上),求两条船 相距多少米 【思路点拨】本燧的关键是画出图形,将已知的角度与 在△BCD中,C=40,∠BC=30 距离抽象到具体的三角形中 DBC=135°,由正弦定理 【自主解答】根据题憝作图,A、B为 得CD 两条小船所在的位置,OP为炮台所在的位 sin∠ DBC sin∠BCD 置,P为观测点 40s1n 则由题意可知:OP BDE=180°-1 30°=15 由炮台顶部测得儕角分别为45和30°, 在Rt△BED中 可知∠APO-6 BE=DBin15-20×2 由炮台底部与船只在同一水平面上, 可知OP⊥面AOB. 由R△APO和Rt△BPO中的相关运算以及余弦定理, 在Rt△ABE中,∠AEB=30°, 求得AB的长 AB= BEtan 30 (3-√3)(米) 在Rt△APO中,由OP=30,∠APO=60°,可得AO 30√3 故所求的塔高为(3-√3