第3章 第4节 函数y=Asin(wx+p)的图象和性质-【成功方案】2021新高考数学专题复习艺考生专用

第三章三角函数、三角恒等变换解三角形 3)对称性:利用y=sinx的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求氵【解析】因为变换前后,两个函数的初相相同,所以只需 解,令x。+q-kπ(∈Z),求得对称中心为(x。,B) 把y=3n(z+5)图象上的所有点的纵坐标不变,横坐 利用y=sinx的对称轴为x=kr+(k∈Z)求解,令ox 标缩短到原来的倍,即可得到函数y=3in(2x-x)的 十g=kx+5(k∈刀),求得其对称轴为x=x 2.周期与对称性之间的关系 【答案】n (1)函数y=Asn(ax+q)或y=Acos(ox+q)图象相邻两4.(知识点1、2)如图,某地一天从6时↑mr 对称中心相邻两对称轴之间的距离是周期,相邻的对函数y=A5m(ax+)+b,则这段20 称中心与对称轴之间的距离是A周期 曲线的函数解析式为 【解析】从图中可以看出,从6~ (2)函数y=Atan(ax+g)图象相邻两对称中心之间的 4时是函数y-Asn(0x+p)-6oM6io14h 距离是。周期 3.对称轴(对称中心)与函数值的关系 所以A-2×(30-10)-10,b (30+10)-20 在判断对称轴或对称中心时,用以下结论可快速解题:设y 是对 14-6,所以 称轴方程f(x)-±A,g(x)-±A;(x0,0)是对称中心 又8·10+9-2x-2x,k∈团,取9A 基础夯实 所以、二1。、(3吓)+20,x∈[6,14] 【答案】 sin(5x+)+20,x∈6,14] 、走出误区 思考辨析(在括号内打“√”或“×”) 典例精讲 (1)v-sin 的图象是由 图象向 右平移。个单位长度得到的 例1】已知函数y=2sin(2x+ (2)将函数y= sinai的图象向右平移g(g>0)个单位长 1)求它的振幅、周期、初相 度,得到函数y=sin(ax9)图象 ()(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; (3)函数y=Acos(ax-g)的最小止周期为T,那么函数图 (3)说明y=2sin(2x+2)的图象可由y=sinx的图象 象的两个相邻对称中心之间的距离为 经过怎样的变换而得到. (4)出图象求函数解析式时,振幅A的大小是出一个周期 自主解答】(1)y-2sin(2x+)的振幅A-2,周期 内图象屮最高点的函数值与最低点的函数值确定的 相φ 答案】(1) (3)√(4)√ 2(易错点)为得到函数y=c05(2z+3)的图象只需将函 (2)令X=2x- 数y=cos2x的图象向 平移 个单位 则y=2sin(2x+)=2sinX 列表如下 【解析】y-(+3)-co2(a+只雪将y cos2x的图象向左平移兀个单位长度 答案】左 走进教材 为了得到y=3n(2x1)的图象,只需把y=3sin 描点画出图象,如图所示 5)图象上的所有点的 纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变 横坐标仲长到原来的2倍,纵坐标不变 C.纵坐标缩短到原来的’倍,横坐标不变 D.横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变 艺术生 (3)把y=smx的图象上所有的点向左平移3个单位长 例3】已知函数f(x)=√3sin( ()<g<π,>0)为偶函数,且函数y=f(x)图象的相邻对 度,得到y-sn(x-)的图象; 称轴间的距离为 再把y-sin(x+)的图象上所有点的横坐标缩短到原 (1)求f()的值 来的倍(纵坐标不变),得到y-sin(2x+)的图象; (2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,再将 最后把y=sin(2x+)上所有点的纵坐标伸长到原来氵得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不 变,得到函数y-g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间 的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin(2x+)的图 【自主解答】(1)f(x)=/3sin(ax+g)-cos(ax+q) 【解题心得】(1)五点法作简图:用“五点法”作y Asin(ax+g)的简图,主要是通过变量代换,设x=ax+g,由 =2r sin(a +o)-, cos(az+o) z取0,丌,x,3x,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五 点坐标,描点后得出图象 因为f(x)为偶函数,所以对x∈R,f(-x)=f(x)恒 图象变换:函数y=inxz的图象通过变换得到y=成 Asin(ωxg)的图象,有两种主要途径:“先平移后伸缩”与 先仲缩后平移 因此sin(-ax-96sin( CcTp-) 例2】如图为y=Asin(ax+g)的图象的一段,求其解 即一 Sin (rcos((p-6 T )Fcos ozsin(p 析式 -)+cos arcsin(c-e 整理得si 因为>0,且x∈R,所以cos(φ-) 【自主解答】方法一:以N为第一个零 又因为0<g≤丌,故 则A=-3,