第2章 第10节 导数的应用-【成功方案】2021新高考数学专题复习艺考生专用

艺术生 第十节导数的应用 (2)若两数∫(x)在a,b上单谢递增,则f(a)为函数的最小 教材梳理 值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减 则f(a)为函数的最大值,f(b为函数的最小值 知识点1利用导数研究函数的单调性 (3)设函数f(x)在[a,b上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在 在(a,b)内可导函数f(x) a,b]上的最大值和最小值的步骤如下 ∫(x)>0→f(x)在(a,b)上为单调递增数 ①求f(x)在(a,b)内的极值 f(x)<0→f(x)在(a,b)上为单调递减函数 ②将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个 f"(x)-0→f(x)在(a,b)上为常函数 是最大值,最小的一个是最小值 注意](1)∫(x)>0(<0)是∫(x)在区间(a,b)内单调递增 基础夯实 (减)的充分不必要条件 2)∫(x)≥0(≤0)是∫(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的必 要不充分条件 走出误区 (3)由∫(x)在区间(a,b)内单调邐增(减)可得∫(x)≥0(≤ 思考辨析(在括号内打“、√”或“×” 0)在该区间内恒成立,而不是f(x)>0(<0)恒成立,“一”不 (1)若函数f(x)在(a,b)内单训递增,那么·定有f(x 能少,必要时还需对“=”进行检验 思考1:若f(x)在(a,6)内的任意子区间都不恒等于零(允许氵(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)=0,则f(x) 个别点x0,使f(x)-0),则f(x)≥0(≤0)是f(x)在(a,b)氵在此区间内没有单调 (3)(x)>0是f(x)为增函数的充要条件, 内递增(递减)的什么条件? (4)函数的导数越小,函数的变化越慢,函数的图象就越 提示:充要条件 平缓 思考2:在区间(a,6)内f(x)的大小与在(a,b)内函数y=氵【答案】(1)×(2)(3)×(4) f(x)的图象的“陡峭”和“平缓”有什么关系? 2.(易错点)函数f(x)=x-lnx的单训递减区问为 提示:函数在某一范围内导数的绝对值较大,函数在这个范 围内变化得快,其对应函数的图象就比较“陡峭”(向上或向 即导函数y=f(x)在相应范围内是增函数,反之,函数的【解析】函数的定义域是(0,-∞),且/(x)=1- 图象就“平缓”一些 令f(x)<0得0<x<1 知识点2函数的极值 (1)函数的极小值 【答案】(0,1) 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近3.思考辨析(在括号内打“”或“×”) 其他点的函数值都小,f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 (1)函数f(x)在区间(a,b)内一定存在最值 f(x)<0,右侧f(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小(2)函数的极大值一定比极小值大 值点,f(a)叫做函数y-f(x)的极小值 3)对可导函数f(x),f(x)=0是x0为极值点的充要条 (2)函数的极大值 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近:(4)函数的最大值不一定是极大值最小值也不一定是极 的其他点的函数值都大,f(b)=0,而且在点x=6附近的左氵小值 【答案】(1)×(2)×(3)×(4) 侧f'(x)>0,右侧f(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极 4.(易错点)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1处取 大值点,∫(b)叫做函数y-f(x)的极大值 得极值10,则a 极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为 极值. 【解析】f'( 2ax+b,依题意得 (1)=0 思考:导函数f(x)的零点与可导函数f(x)的极值点有何 解得 经验证,当 提示:可导函数f(x)的极值点x0一定是导函数f(x)的变 3,b=3时,(x)=3x2-6x|3=3(x-1)2≥0,故 零点 知识点3函数的最值 f(x)在R上单调递增,所以 不符合题意,舍去 (1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值:当a-4,b--11时,符合题意 与最小值 【答案】 第二章函数、导数及其应用 走进教材 【自主解答】(1)因f(x)=x3ax2-9x-1 5.函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是 所以/(x)=3x2-2ax-9=3(x+30 即当x--时,f(x)取得最小值一9-a O 因斜率最小的切线与12x+y=6平行 即该切线的斜率为-12 所以-9---12,即a2-9 解得a-士3,由題设a<0,所以a -17}(2)由(1)知a=-3,因此f(x)=x2-3x2-9x 【解析】由y=f(x)的图象知,在(-∞,0)上y=f(x)为 当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,故f(x)在(-∞,-1) ,且逐渐增大,而在