第2章 第9节 导数及导数的运算-【成功方案】2021新高考数学专题复习艺考生专用

艺术生 第九节导数及导数的运算 教材梳理 (基础夯实他 知识点1导数的概念 走出误区 两数y=f(x)在x=x处导数的定义,称两数y=f(x)在 思考辨析(在括号内打“、”或“×”) f(xa+△x)f(xo) (1)f(x0)是函数y-f(x)在x附近的平均变化率 =x处的瞬时变化率lin lit Ar (A Z 函数y-f(x)在x-x0处的导数,记作f(x0)或y|x-x0,(2)/(x0)是导函数f(x)在x=x0处的函数值.( (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( 即f(z3)=mn 4Nln/(xo+△x)-/(x) [注意]函数y-f(x)的导数f(x)反映了函数∫(x)的瞬时 (4)因为(nx)=-,所 变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|/(x)|反映了}【答 变化的快慢,∫(x)越大,曲线在这点处的切线越“陡 2.(易错点)已知f(x)=x2+3xf(2)则f(2) 思考:f(x)与f(x0)的区别与联系 【解析】因为f(x)=2x+3f(2),令x=2,得f(2) 提示:f(x)是一个函数,f(x0)是函数f(x)在x0处的函数 值(常数),所以[f(x0)]=0 所以f(x)=x2-6x,于是f(2) 【答案】 知识点2导数的几何意义 二、走进教材 函数∫(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线 (知识点2)(2018·天津卷)知函数f(x)-elnx,f(x) f(x)上点P(x0,y)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函 为f(x)的导函数,则f(1)的值为 数s()对时间的导数).相应地,切线方程为y-y0-f(x0) 【解析】∵f(x)=elnx,;f(x)-e(lnx+ 注意]“过”与“在”:曲线y-f(x)“在点P(x,y)处的切∴f"(1)-el·(ln1+1)-e 线”与“过点P(x,y)的切线”的区别:前者P(x,y)为切:【答案】e 点,雨后者P(x0,y)不一定为切点.“切点”与“公共点”:曲4,(知识点3)已知自线 x+1是数f( 线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个,而直线与 次曲线相切只有一个公共点 图象的切线,则实数a= 思考:直线与曲线只有个公共点,则该直线定与曲线相:【解析】设切点为(x0,yo),则f(xo) 切吗?为什 提示:不一定.因为直线与曲线的公共点个数不是切的本质:…e。-a,又一·e--xo+1,∴ 特征,直线与曲线只有一个公共点,不能说明直线就是曲线:【答案】e2 的切线,反之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线有 一个公共点,但切点一定是直线与曲线的公共 典例精讲 知识点3求导公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 例1】求下列数的导数: ①c=0;②(x)-ax1(a∈Q); )y=x sin a t ③(sinx)=cox;④(cosx)'=-sinx;⑤(a2) (2)y=3e-2x+e ⑥(e“)=e;0(ognx)=ahna;③(ln) (2)导数的运算法则 思路点拨】先正确地分析函数是出哪些基本函数经 ①[f(x)=g(x)]-f(x)=g'(x); 过怎样的顺序复合而成;求导时,可设出中间变量,注意要逐 )g(x)-f(x)g(x); 层珓导不能遗漘,每一步对谁求导,不能混淆 ③(x1=(x)·(x)8(x)1(x2(g(x)≠0 【自主解答】直接利用导数公式和导数运算法则求导 (3)复合函数的求导法则 (2)y=(32e)-(2x)-(e 复合函数y-f(g(x)对自变量的导数等于已知函数对中间 变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积.设y=f(u) 则 46 艺术生 【解析】y lnx导数为y= aex Inc1,由在点:【解析】∵y=3(x2+x) (1,ae)处的切线方程为y-2x+b,可得 解得 a-e1又切点为(1,1),可得1-2+b,即b-1 ∴当z=0时,y 【答案】D 在点(0,0)处的切线斜率k一 3.(2020·课标|理,6,5分)函数f(x) 2x3的图像在 切线方程为 点(1,f(1))处的切线方程为 【答案】y=3x D.y-2x+ 6.(2019·天津)出线 在点(0,1)处的切线方程 【解析】本题考查导数的几何意义.f'(x)-4x36x2 为 又f(1)--1,则函数f(x)的图像在(1,-1 处的切线方程为y-(-1)=f(1)(x-1),即y=-2x+ 【解析】由题意,可知:y=-snx 1,故选B 【答案】B 2=-2.曲线y=c0x-2在点(O,1)处的切线方程 4.(2020·课标I文,15,5分)线y-lnx+x-1的一条切 线的斜率为2,则该切线的方程为 y-1=-2x,整理,得:x+2y-2=0 【解析】本题考查导数的几何意义及切线方程的求