第2章 第8节 函数与方程-【成功方案】2021新高考数学专题复习艺考生专用

第二章函数、导数及其应用 第八节函数与方程 2.(易错点)若函数f(x)=x2-2x+m在区间(0,4)上存在 教材梳理 零点,则实数m的取值范围是 【解析】二次函数∫(x)图象的对称軸方程为x=1.若在 知识点1函数的零点 区间(0,4)上存在零点,只需f(1)≤0且f(4)>0即可,即 (1)函数零点的定义 1+m≤0且8+m>0,解得-8<m≤1 函数y-f(x)的图象与横轴的交点的横坐标称为这个函数【答案】(8,1 的零点 、走进教材 3.已知函数y=f(x)的图象是连续曲线,且有如下的对应 (2)几个等价关系 方程f(x)-0有实数根台函数y-f(x)的图象与x轴有交值表 点台数y=f(x)有零点 (3)数零点的判定(零点存在性定理 136.13615.552|-3.92|10.88-52.48 若函数y-f(x)在闭区间[a,b]上的图象是连续曲线,并且在 区问端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间则函数y=f(x)在区间[1,6]上的零点至少有 (a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方稈f(x)A.2 B.3 0在区间(t,b)内至少有一个实数解 思考:函数的零点是函数图象与x轴交点吗 【解析】由零点存在性定理知,函数在区间(2,3),(3,4) 提示:不是.函数的零点不是点,而是函数图象与x轴交点的 (4,5)内均有零点,所以y-f(x)在[1,6]上至少有3个 横坐标 知识点2二次函数y-ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的 【答案】B 关系 4.两数f(x)=e+3x的零点个数是 【解析】由已知得f(x)=ex+3>0,所以f(x)在R上单 A>>0 A<0 调递增,又f(-1) 0,f(0)=1>0,因此函数 (x)有且只有一个零点 次函数 【答案】1 y=a.+brt (a>0)的图象 )典例精讲 与x轴的交点 无交点 例1】(1)(2020·烟台模拟)数∫(x)=ln(x+1) 的个零点所在的区间是 零点个数 B 常用结论 D.(3,4) 1若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)(2)函数f(x)-1x-2|-1nx在定义域内的零点的个数 至多有一个零点 2.连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持 同号 【思路点拨】偕助函数零点存在性定理、函数的单调性 等基础夯实 函数零点个数 【自主解答】(1)∵f(x)在(0,+∞x)上为增函数,且 走出误区 f(1)=n2-1<0,f(2)=1n3->0 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) f(x)的零点所在区间为(1,2),故选B. (1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).( 2)由题志可知f(x)的定义域为(0,+∞).在同一平面 (2)二次函数y=ax2|bxc(a≠0)在b2-4a<0时没有直角坐标系中作出函数y-|x2(x>0),y-1nx(x>0)的 零点 图象 3)已知函数f(x)在(a,b)内图象连续且单调,若f(a) 由图可知函数f(x)在定义域内的零点个数为2.故选C. f(b)<0,则函数f(x)在a,b上有且只有一个零点 【答案】(1)B(2)C ):【解题心得】方程的根或函数零点的存在性问题,可以 (4)数y=2sinx-1的零点有无数多个 ):根据区间端点处的函数值的正负来确定,但要确定零点的 【答案】(1)X(2)(3)(4)√ 数还需进一步研究两数在区间上的单调性,在给定的区间 41 艺术生 上,如果函数是单调的,它至多有一个零点,如果不是单调 L(x)=500×10002-531x-1000+1450-250 的,可继续细分出小的单调区间,再结合这些小的区间的端 点处函数值的正负,作出正确判断 10000 【例2】用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间[1, ]内的一个零点.(精确度0.1) 50(0<x<8),x∈N+) LCr) 【思路点拨】充分利用逼近的思想,使零点进一步接近 12-(x+ )(x≥80,x∈N+ 实值 【自主解答】依据二分法求函数∫(x)的零点近似值的 (2)当0<x<80,x∈N+时,L(x) 950,∴当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950 由于f(1) 当x≥80,x∈N f(1.5)=3.375-1.5-1=(.875>0, l0)0 ∴f(x)在区间[1,1.5内存在零点,取区间[1,1.5]作为 计算的初蛤区间 12())-200=10()0 用二分法逐次计算列表如下 ∴当=1090 ,即x=100时 端(中) 中点函数 零点 an-bnI 点坐标 值符号 在区间 L(x)取得最大值L(100)-1000>950 綜上所述,当x=100时,L(x)取得最大值1000,即 [1,1.