精品解析：上海市上海中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

2020-2021年上海中学高二期末数学试卷 一、填空题 1. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________. 2. 函数是虚数单位的值域用集合表示为______． 3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为________. 4. 已知双曲线一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程___________________. 5. 若点是抛物线的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则______． 6. 把参数方程（为参数，）化成普通方程是______． 7. 已知F是抛物线y2=x的焦点，A、B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为__________. 8. 已知复数满足条件，那么的最大值为______． 9. 若曲线与直线没有公共点，则实数、分别应满足的条件是______． 10. 已知、是等轴双曲线的左、右焦点，点在上，，则等于___________. 11. 已知双曲线：的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为__________． 12. 直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点，，则的最小值为______． 二、选择题 13. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 14. 已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（　　） A. 3 B. 4 C. D. 15. 已知圆圆心为C，过点且与x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A在点M与点B之间．过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 16. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为的圆在一个半径为的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，其方程为，给出下列四个结论，正确的有（ ） （1）星形线的参数方程为：（为参数） （2）若，则星形线及其内部包含33个整点；（即横、纵坐标均为整数的点） （3）曲线在星形线的内部（包含边界）； （4）设星形线围成的面积为，则； A. （1）（3）（4） B. （1）（2）（3）（4） C. （2）（3） D. （1）（2）（3） 三、解答题 17. 已知复数，实数a，b满足，求a，b值． 18. 已知关于x二次方程有实根，a为复数.求a的模的最小值. 19. 已知直线与双曲线，则为何值时，直线与双曲线有一个公共点？ 20. 已知关于t的一元二次方程. (1)当方程有实根时,求点的轨迹; (2)求方程实根的取值范围. 21. 已知抛物线：过点． （1）求抛物线的焦点到准线的距离； （2）已知点，过点的直线交抛物线于点、，直线，分别交直线于点、．求的值． 22. 已知椭圆，点为椭圆外一点． （1）过原点作直线交椭圆于、两点，求直线与直线的斜率之积的范围； （2）当过点的动直线与椭圆相交于两个不同点、时，线段上取点，满足，证明：点总在某定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2020-2021年上海中学高二期末数学试卷 一、填空题 1. 若复数是纯虚数，则实数的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再由实部等于，虚部不等于即可求解. 【详解】因为是纯虚数， 所以，解得， 故答案为：. 2. 函数是虚数单位的值域用集合表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数运算性质，复数的除法解决即可. 【详解】由题知，， 故答案为：. 3. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据焦点在轴上的椭圆方程的特点得到不等式组，解不等式组即可. 【详解】 因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以有. 故答案为： 【点睛】本题考查了已知椭圆焦点的位置求参数取值范围，考查了数学运算能力. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程___________________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得 ,所以双曲线的方程为 5. 若点是抛物线的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】 设弦的两个端点为，，代入抛物线方程，由点差法可得答案. 【详解】设弦的两个端点为，，由条件点为的中点， 所以且，显然，则 ， 两式相减，得，所以， 所以，则． 故答案为：2 【点睛】关键点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查中点弦的应