第三讲 与平移、翻折有关的探究题-2021年中考数学A+压轴题专题突破（全国通用）

与平移、翻折有关的探究题 1、 例题讲解 1.（2019-2020·湖南·中考模拟） 定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“准菱形”，利用该定义完成以下各题： 理解 如图，在四边形中，若________（填一种情况），则四边形是“准菱形”； 应用 证明对角线相等且互相平分的“准菱形”是正方形（请画出图形，写出已知，求证并证明）； 拓展 如图，在中，，，，将沿的平分线方向平移得到，连接，，若平移后的四边形是“准菱形”，求线段的长． 【解答】解：由“准菱形”的定义得出，当时，四边形是“准菱形”. 故答案为：（答案不唯一）. 已知：如图，四边形是“准菱形”，对角线，相交于点，且，，. 求证：四边形是正方形. 证明：∵ ，，∴ 四边形是平行四边形. ∵ ，∴ 平行四边形是矩形. ∵ 四边形是“准菱形”，∴ ，∴ 矩形是正方形. ∵ 在中，，，，∴ .由平移得，，， ，， 由“准菱形”的定义分四种情况： ①当时，； ②当时，； ③如图，当时，延长交于点， ∴ . ∵ 平分，∴ ，∴ ，∴ . 设，∴ ，. ∵ 在中，，∴ ，∴ 或（舍），∴ ； ④当时， 与③的方法一样得：，∴ ，∴ 或（舍），∴ . 综上所述，或或或． 2.（2019-2020·河北·中考模拟） 如图，在中， ．把沿对角线所在的直线折叠，使点落在点处，交于点，连接． 求证： ； 求证： 为等腰三角形； 将图中的沿射线方向平移得到（如图所示）．若在中， ，当时，直接写出平移的距离． 【答案】证明：∵ 四边形是平行四边形，∴ . 由折叠可知，，∴ . 又∵ ，∴ . 证明：∵ ，∴ ，∴ 为等腰三角形. 解：当时，是等腰三角形. 过点作上的垂线交于点，连接，过点作于点， ∵ ，∴ ，∴ . ∵ ，∴ ，∴ . ∵ ，故平移的距离为. 二、实战演练 1.（2018·四川·中考模拟） 已知：如图，在直角梯形中，，，，，．为边上一点，以为边作正方形，使正方形和梯形在的同侧． 当正方形的顶点恰好落在对角线上时，求的长； 将问中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点与点重合时停止平移．设平移的距离为，正方形的边与交于点，连接，，，是否存在这样的，使是直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 在问的平移过程中，设正方形与重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式以及自变量的取值范围． 【答案】解：如图①， 设正方形的边长为，则，∵ ，，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，即，解得：，即； (2) 存在满足条件的，理由：如图②，过点作于，则，， 由题意得：，，， ∵ ，∴ ，∴ ，即，∴ ， 在中，， 在中，，过点作于， 则，，∴ ， 在中，， 若，则，即，解得：， 若，则，即， 解得：，（舍去），∴ ； 若，则，即：，此方程无解， 综上所述，当或时，是直角三角形； (3) ①如图③，当在上时，，即，∴ ， ∴ ，∵ ，∴ ， 当时，， ②如图④，当在上时，，∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ 当时，； ③如图⑤，当在上时，，即，解得：，∴ ， ∴ ，∵ ，∵ ， ∴ 当时，， ④如图⑥，当时，∵ ，，，， ． 综上所述：当时，，当时，；当时，， 当时，． 三、中考集训 1.（2019·湖南·中考真卷） 如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形． 当为何值时，为直角三角形； 是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； 求的长； 取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得，连接，当为何值时，的值最小？并求出最小值． 【答案】解：∵ 是等边三角形，∴ ，∴ 当时，，∴ ， ∴ ，∴ 时，是直角三角形． 存在．理由：如图中，连接交于． ∵ 平分，，∴ ，. ∵ ，，∴ ，∴ ，∴ . ∵ 为平行四边形，∴ . ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，解得． 如图中，作交于． ∵ 是等边三角形，∴ . ∵ ，∴ ，∴ ，∴ 是等边三角形，∴ . ∵ ，∴ . ∵ ，，，∴ ，∴ ， ∴   ． 如图中，连接，， ∵ ，，∴ ，∴ . ∵ ，∴ ，∴ 的最小值为. 此时平分，则有(可以用面积法证明)，∴