第三讲 面积问题-2021年中考数学A+压轴题专题突破（全国通用）

面积问题 1、 例题讲解 10.（2019-2020·广西·中考模拟） 如图，是的外接圆，是直径，是中点，直线与相交于，两点，是直线上外的一点，连接，，，且满足． 求证：是的切线． 若，，求直径的长． 在的条下，求四边形的面积． 【答案】证明：连结， 是的直径，，，，， 又，，是的切线． 解：：是弦中点，，在中，设，则，，， ，即，解得，． 解：，， 易证，， ，，，， ． 2.（2020·广东·中考模拟） 如图，点是外一点，切于点，是的直径，连接，过点作交于点，连接交于点． 求证：是的切线； 若，，求图中阴影部分的面积； 在的条件下，若点是的中点，连接，求的长． 【答案】证明：如图， 连接，∵ 切于点，∴ ，∵ ，∴ ，， ∵ ，∴ ，∴ ， 在和中，，∴ ，∴ ，∴ 是的切线； 解：由得，都为圆的切线，∴ ，平分，， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ，，∴ ，，， 由题意知为的中位线，∴ ，，．∴ 阴； 如图， 连接，，作于，∴ ， ∵ 点是的中点，∴ ，，， ∴ ，则．   3.（2020·江苏·中考模拟） 如图，在中，＝，以为直径的与边、分别交于、两点，过点作于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）求证：点为的中点； （3）若的半径为，＝，求阴影部分的面积． 【答案】（1）与相切，理由如下： 连接，如图所示： ∵ ＝，∴ ＝，又∵ ＝，∴ ＝，∴ ＝，∴ ， ∵ ，∴ ，∵ 点在上，∴ 是的切线； （2）证明：连接，如图所示： ∵ ＝，＝，∴ ＝， 又∵ ＝，∴ ＝，∴ ＝， 又∵ ，∴ ＝，即点为的中点； （3）连接，如图所示： ∵ ＝，＝，∴ ＝＝，∴ ＝， 又∵ ＝＝，∴ ＝，∴ ＝， ∴ 阴影部分的面积＝． 4.（2020·云南·中考模拟） 如图，以为直径的交的边于点，平分交于点，于点，交于点，于点，＝，，＝． （1）求证：； （2）求证：是的切线； （3）证明四边形是菱形，并求该菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵ 是的直径，∴ ＝． 又∵ ，平分，∴ ＝，＝． 又∵ ＝，∴ ． （2）证明：∵ ＝，∴ ．又∵ ＝＝，∴ ．∴ ＝． 又∵ ＝＝，∴ 是的切线． （3）由（1）得＝，＝，＝， 又∵ ，∴ ＝，∴ ＝，∴ ＝，∴ ＝＝＝． ∴ 四边形是菱形． ∵ ，＝，∴ ． 设＝，则＝，由勾股定理；∵ ＝，∴ ＝，∴ ＝，＝． ∵ 平分，∴ ＝＝，∴ ＝＝． ∵ ，∴ ＝． 又∵ ＝，∴ ．∴ ． 设＝，则＝，，解得． ∴ ＝＝． 5.（2020·山东·中考模拟） 如图，在中，＝，是的外接圆，过点作的切线，交的延长线于点，交于点． （1）求的度数； （2）若＝，求的长； （3）在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）连接，∵ 是的直径，∴ ＝，由圆周角定理得，＝＝， ∴ ＝＝； （2）连接，在中，，∵ 是的切线，∴ ＝， 由圆周角定理得，＝＝，∴ ＝，∴ ＝＝，∴ ＝＝； （3）在中，＝＝，∴ 阴影部分的面积． 二、实战演练 1.（2020·江苏·中考模拟） 如图，四边形是的内接四边形，为直径，，，垂足为． （1）求证：平分； （2）判断直线与的位置关系，并说明理由； （3）若＝，＝，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：∵ ，∴ ＝， ∵ ＝，∴ ＝，即平分； （2）直线与相切．理由如下：连结，如图，∵ ＝，∴ ＝， 而＝，∴ ＝，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ 为的切线； （3）作于，则四边形为矩形，∴ ＝， ∵ ＝，＝，∴ ＝＝，∴ ＝＝＝， 在中，＝，∴ ＝， ∴ 阴影部分的面积＝． 2.（2020·江苏·中考模拟） 如图，是的直径，点是上一点，平分，直线与的延长线相交于点，与延长线垂直，垂足为，平分，交于． （1）求证：与相切； （2）若＝，，求的长度以及图中阴影部分面积． 【答案】（1）证明：连接，如图， ∵ 平分，∴ ＝， 又∵ ＝，∴ ＝，∴ ＝，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ 与相切； （2）连接，，如图， ∵ 是的直径，∴ ＝，＝， ∵ ＝，，∴ ， ∵ ＝，，∴ ＝，∴ 由勾股定理得：，∴ 的半径为， ∵ 平分，∴ ＝，∴ 由勾股定理得：＝＝