第一讲 长度问题-2021年中考数学A+压轴题专题突破（全国通用）

长度问题 1、 例题讲解 1.（2020·山东·中考模拟） 如图，已知为的直径，为的切线，连结，过作交于，连结交于，延长，交于点． 求证：是的切线； 若，，求的长； 在的条件下，连结交于，求的值．   2.（2020-2021·河北·中考模拟） 如图，是半圆的直径，为半圆的圆心，是弦，取的中点，过点作交的延长线于点. 求证：是半圆的切线； 当时，求的长； 当时，直接写出面积最大时，点到直径的距离. 3.（2019-2020·湖南·中考模拟） 如图，为的直径，为上一点，连接，过点作于点，过点作，使，其中交的延长线于点，作使得，连接并延长交的延长线于点． 求证：是的切线； 探究线段与之间满足的数量关系； 若，，求线段的长．   4.（2019-2020·辽宁·中考模拟） 已知直线垂直平分的半径于点，交于点，，是的切线，为切点，连结，交于点． 若的半径为，求的长； 若，求的长； 在的条件下，  ，求的长． 5.（2020·江苏·中考模拟） 如图，是的直径，＝，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，垂足为点，作直径，过点的切线交的延长线于点，于点，连接． （1）求证：是的平分线； （2）求证：＝； （3）当时，求劣弧的长度（结果保留） 二、实战演练 1.（2019-2020·福建·中考模拟） 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，过点作的切线与交于点． 求证：； 若，，求的长．   2.（2019-2020·河北·中考模拟） 如图中，为半圆的直径长为，弦为半圆的一条动弦，对于每一动点，以点为旋转中心，将弦逆时针旋转，得到线段． 当时，求弧的长； 如图，过点作于点．点能否与点重合，若不能说明理由；若能，求出线段的长； 当点到直线的距离为时，直接写出点到直线的距离. 3.（2019-2020·广东·中考模拟） 如图， 中，，为上一点，以为圆心，长为半径的圆，与相切于点，交于点，交于点，作于点，连接，． 求证：平分； 求证：； 若是的中点， ，求四边形的周长． 4.（2019-2020·内蒙古·中考模拟） 如图，内接于，为直径，与相交于点，过点作于，，延长交的延长线于点，连接． 求证：与相切； 若，求的值； 在的条件下，若的半径为，，求的长． 5.（2020·福建·中考模拟） 如图，已知半径为的与直线相切于点，点是直径左侧半圆上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，与交于点，连接、，设的长为． （1）当时，求弦、的长度； （2）当为何值时，的值最大？最大值是多少？ 三、中考集训 1.（2020·辽宁·中考真卷） 如图，是的直径，点为上一点，为的切线，于点，分别交，于，两点． 求证：； 若的半径为，，求的长． 2.（2020·上海·中考真卷） 如图，中，，是的外接圆，的延长交边于点． 求证：； 当是等腰三角形时，求的大小； 当，时，求边的长． 3.（2020·新疆·中考真卷） 如图，在中，为的直径，为上一点，是的中点，过点作的垂线，交的延长线于点． 求证：是的切线； 若，，求的长． 4.（2020·四川·中考真卷） 如图，是的外接圆，为直径，点为外一点，且，连接交于点，延长交于点． 证明：； 若，证明：是的切线； 在条件下，连接交于点，连接，若，求的长． 5.（2020·湖北·中考真卷） 已知：如图，是的直径，点为上一点，点是上一点，连接并延长至点，使，与交于点． 求证：是的切线； 若平分，求证：． 6.（2020·浙江·中考真卷） 如图，已知是的内接三角形，是的直径，连结，平分． 求证：； 若，求的长． 7.（2020·湖南·中考真卷） 如图，在中，为直径，点为圆上一点，延长到点，使＝，且＝． （1）求证：是的切线． （2）分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为、两点，过点作的垂线，垂足为点．求证：＝． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $$ 长度问题 1、 例题讲解 1.（2020·山东·中考模拟） 如图，已知为的直径，为的切线，连结，过作交于，连结交于，延长，交于点． 求证：是的切线； 若，，求的长； 在的条件下，连结交于，求的值． 【答案】证明：如图，连接， ∵ 为的直径，为的切线，∴ . ∵ ，∴ .，，，∴ . ∵ ，，∴ ，∴ ，∴ ，且是半径， ∴ 是的切线. 解：设的半径为，则，在中，∵ ，∴ ， 解得，∴ . ∵ ，，∴ ，∴ . ∵ ，∴ ，．∴ ，．设， 由题易得为的中位线，∴ ，，， ∴ ，，∴ ．   2.（2020-2021·河北·中考模拟） 如图，是半圆的直径，为半圆的圆心，是弦，取的中点，过点作