第三讲 与特殊的三角形相关的问题-2021年中考数学A+压轴题专题突破（全国通用）

与特殊的三角形相关的问题 1、 例题讲解 1.（2019·山东·中考模拟） 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． 求抛物线的解析式； 点在轴下方的抛物线上，过点的直线与直线交于点，与轴交于点，求的最大值； 已知点为抛物线对称轴上一点． ①当为直角三角形时，求点的坐标； ②若是锐角三角形，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】解：把，代入，得解得∴ 抛物线的解析式为． 易得的解析式为，∵ 直线与直线平行，∴ 直线与直线垂直， ∴ ，∴ 为等腰直角三角形， 作轴于，轴交于，如图， 为等腰直角三角形，，设，则， ∴ ，，∴ ， ∴ ， 当时，的最大值为； ①如图， 抛物线的对称轴为直线，设（），则，，， 当是以为斜边的直角三角形时，，即， 解得，此时点坐标为； 当是以为斜边的直角三角形时，，即， 解，此时坐标为； 当是以为斜边的直角三角形时，，即， 解得，， 此时点坐标为或； ②是锐角三角形， 综合①可得点的纵坐标的取值范围为：或．   2.（2020·浙江·中考模拟） 定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的关联直线． 求抛物线的关联直线； 已知抛物线与它的关联直线都经过轴上同一点，求这条抛物线的表达式； 如图，顶点在第一象限的抛物线与它的关联直线交于点，（点在点的左侧），与轴负半轴交于点，连结、．当为直角三角形时，求的值． 【答案】解：由，∴ 关联直线为； ∵ 抛物线与它的关联直线都经过轴上同一点，∴ ， 可设抛物线的顶点式为，则其关联直线为， ∴ 解得：或，∴ 抛物线解析式为或. 由题意：，， 显然且，故不能成为的斜边， 当时：，解得：， 当时：，解得：， ∵ 抛物线的顶点在第一象限，∴ ，即或. 3.（2020·湖北·中考模拟） 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． 求抛物线的解析式及顶点的坐标； 点是抛物线上，之间的一点，过点作轴于点，轴，交抛物线于点，过点作轴于点，当矩形的周长最大时，求点的横坐标； 如图，连接，，点在线段上（不与，重合），作，交线段于点，是否存在这样点，使得为等腰三角形？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】解：抛物线的表达式为：，∴ 顶点. 设点，则， ＝， 矩形的周长. ∵ ，故当时，矩形周长最大， 此时，点的横坐标为. ∵ ，，，∴ . 又∵ ，，∴ ，.而，， ①当时，∴ ，即：，则； ②当时，则.又，∴ ，∴ ， ∴ ，即：，则.而，即，解得：； ③当时不成立，∵ ，而，∴ ，∴ ． 故或． 4.（2019-2020·辽宁·中考模拟） 如图，已知二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，过点作平行于轴交抛物线于点，连接． 求这个二次函数的表达式； 点从点出发以每秒个单位长度的速度向点运动；点从点同时出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点作垂直于交于点，连接． ①求的面积与运动时间之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当为何值时，有最大值，并求出的最大值； ②是否存在点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】解：∵ 二次函数的图象经过和点，∴ 解得 所以，二次函数的解析式为． ①延长交轴于点， ∵ 平行于轴，，∴ ，． 根据题意，经过秒时，，，则，． ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ．∴ ． ∵ ，且，∴ 有最大值． 当时，． ②存在点，使得为直角三角形．设经过秒时，，，则，， ∴ ． 若，则是等腰底边上的高．∴ 是底边的中线，∴ ， ∴ ，解得，，∴ 的坐标为． 若，此时与重合．∴ ，∴ ，∴ ，∴ 点的坐标为． 综上，使得为直角三角形的点的坐标分别为和． 5.（2020-2021·湖北·月考试卷） 如图，抛物线经过点和点与轴的另一交点为点，点是直线上一动点，过点作轴，交抛物线于点． 求该抛物线的解析式； 在抛物线上是否存在一点，使得是等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 以为圆心，为半径作，当与坐标轴相切时，求出的半径． 【答案】解：把点和点代入得：解得 故抛物线的解析式为. 不存在，理由如下： ①当点在轴右边时，如图所示： 假设为等边三角形，过点作于.∵ 点，∴ .则，， ∴ ，∴ .把代入，得， ∴ 假设不成立.∴ 当点在轴右边时，不存在为等边三角形； ②当点在轴的左边时，如图所示： 假设为等边三角形，过点作于.∵ 点，∴ .则，， ∴ ，∴ .把代入，得， ∴ 假设不成立，∴ 当点在轴左边时，不存在