第二讲 与特殊的四边形相关的问题-2021年中考数学A+压轴题专题突破（全国通用）

与特殊的四边形相关的问题 1、 例题讲解 1.（2020-2021·吉林·月考试卷） 如图，已知点，，将绕点逆时针旋转，点落在轴负半轴上的点处，点落在轴正半轴的点处，连接，抛物线恰好经过，，三点. 求抛物线的解析式； 求的值； 是第二象限内一点，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】解：由题意得，.设，把点带入，解得，． 过点作于点，则,即， 解得，∵ ，∴ ，. 已知，，，是第二象限内一点， ①当为正方形的对角线时，，又，则，即. ②当为正方形的对角线时，，又，则，即，则. ③当为正方形的对角线时，，则或（舍去）. 综上，存在，，． 2.（2019-2020·湖南·中考模拟） 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点和，抛物线经过点，且与直线的另一个交点为． 求的值和抛物线的解析式； 点在抛物线上，且点的横坐标为．轴交直线于点，点在直线上，且四边形为矩形（如图）．若矩形的周长为，求与的函数关系式以及的最大值； 若是平面内一点，将绕点沿逆时针方向旋转后，得到，点，，的对应点分别是点，，．若的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点的横坐标． 【答案】解：∵ 直线经过点，∴ ，∴ 直线的解析式为. ∵ 直线经过点，∴ ，解得. ∵ 抛物线经过点和点，∴ 解得 ∴ 抛物线的解析式为. (2) 令，则，解得，∴ 点的坐标为，∴ . 在中，，∴ .；∵ 轴，∴ . 在矩形中，，， ∴ . ∵ 点的横坐标为，∴ ，，∴ ， ∴ . ∵ ，且，∴ 当时，有最大值. ∵ 绕点沿逆时针方向旋转，∴ 轴，轴. 设点的横坐标为. ①如图所示， 点，在抛物线上时，点的横坐标为，点的横坐标为，∴ ， 解得； ②如图所示， 点，在抛物线上时，点的横坐标为，点的纵坐标比点的纵坐标大， ∴ ，解得. 综上所述，点的横坐标为或． 3.（2019-2020·福建·中考模拟） 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为． 求点的坐标； 连接，与抛物线的对称轴交于点，为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点． ①当四边形是平行四边形时，求四边形的面积； ②设的面积为，求的最大值． 【答案】解：，，可化为.把点代入， 得，，，即，配方，得，． (3) ①设直线的函数关系式为，把点，分别代入得，解得 直线的函数关系式为． 当时，，，， 设点的横坐标为，则点，在中， 当时，，，， 四边形是平行四边形，，，解得，（不合题意，舍去）， ，平行四边形的边上的高为，四边形的面积为． ②如图，设直线与轴交于点， 则. ，， 由①得，，即. ，当时，． 4.（2020·山东·中考模拟） 已知如图，在平面直角坐标系中，点，，分别为坐标轴上的三个点，且，，. 求经过，，三点的抛物线的解析式； 在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 若点为该抛物线上一动点，在的条件下，请求出当的最大值时点的坐标，并直接写出的最大值． 【答案】解：设抛物线的解析式为， ∵ ，，，∴ 解得：，，， ∴ 经过，，三点的抛物线的解析式为； 在平面直角坐标系中存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形， 理由为：如图， ∵ ，，，∴ ， 当平行且等于时，四边形为菱形，∴ ，且点到轴的距离等于， ∴ 点的坐标为， 当点在第二、三象限时，以点，，，为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形， 则当点的坐标为时，以点，，，为顶点的四边形为菱形； 设直线的解析式为， ∵ ，，∴ 解得：∴ 直线的解析式为， 当点与点，不在同一直线上时，根据三角形的三边关系， 当点与点，在同一直线上时，， ∴ 当点与点，在同一直线上时，的值最大， 即点为直线与抛物线的交点， 解方程组得或∴ 点的坐标为或时，的值最大， 此时的最大值为． 5.（2018-2019·河南·中考模拟） 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点，过点作轴的垂线，垂足为，连接． 求此抛物线的解析式及顶点的坐标； 点是抛物线上的动点，设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②过点作轴，与抛物线交于点，为轴上一点，连接，，将沿着翻折，得，若四边形恰好为正方形，直接写出的值． 【答案】解：把点，代入，得到，解得， ∴ 抛物线的解析式为． ∵ ，∴ 顶点坐标． ①作轴于，连接．则，设， ∴ ，，∴ ， ∵ 轴，，∴ ，，， ∵ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ 当点在轴上方时，，解得或（