第一讲 与相似三角形相关的问题-2021年中考数学A+压轴题专题突破（全国通用）

与相似三角形相关的问题 1、 例题讲解 1.（2019-2020·湖南·中考模拟） 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，抛物线顶点为，连接，，，，点是轴下方抛物线上的一个动点，作轴于点，设点的横坐标为． 求抛物线的解析式及点的坐标； 试探究是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； 如图，交线段于点，过点作交轴于点，交线段于点，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值．   2.（2019-2020·河南·中考模拟） 如图所示，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．连结，为抛物线上一动点，过点作轴的平行线分别交直线于点，轴于点． 求抛物线的解析式； 当点在直线下方的抛物线上运动时，若与相似，求的周长； 当点在轴右侧抛物线上运动时，是否存在一点使得中某个角与相等？若存在，直接写出点坐标；若不存在，说明理由． 3.（2020·河北·中考模拟） 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点，，经过点，的抛物线与轴的另一个交点为． 求出抛物线表达式，并求出点坐标． 已知点在抛物线上，且横坐标为，求出的面积； 点是直线上方的抛物线上一动点，过点作垂直于轴，垂足为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4.（2020·广东·中考模拟） 如图，已知抛物线与轴交于、两点，，交轴于点，对称轴是直线． 求抛物线的解析式及点的坐标； 连接，是线段上一点，关于直线的对称点正好落在上，求点的坐标； 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，过作轴的垂线交抛物线于点，交线段于点．设运动时间为秒． ①若与相似，请直接写出的值； ②能否为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 5.（2019-2020·辽宁·中考模拟） 如图，已知抛物线与轴交于，两点，交轴于点， ，对称轴是直线. 求抛物线的解析式及点的坐标； 连接，是线段上一点，点关于直线的对称点正好落在上，求点的坐标； 动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向向点运动，到达点即停止运动，过点作轴的垂线交抛物线于点，交线段于点．设运动时间为 秒． ①连接，若与相似，请直接写出的值； ②能否为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 6.（2019-2020·广西·中考模拟） 已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的顶点为点． 求抛物线的表达式． 点是线段上一个动点． ①当时，求的值； ②当以点，，为顶点的三角形与相似时，求点的坐标． 二、实战演练 1.（2019-2020·四川·中考模拟） 已知：如图，直线与抛物线相交于，两点，抛物线交轴于点，交轴正半轴于点，抛物线的顶点为． 求抛物线的解析式及点的坐标； 设点为直线下方的抛物线上一动点，当的面积最大时，求此时的面积及点的坐标； 点为轴上一动点，点是抛物线上一点，当（点与点对应），求点的坐标．   2.（2019-2020·陕西·中考模拟） 如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． 求抛物线的函数表达式及点的坐标； 抛物线与抛物线关于轴对称，在第一象限内的抛物线上，是否存在一点，作垂直于轴，垂足为点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．   3.（2020·山东·中考真卷） 如图，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点，抛物线的顶点为，其对称轴与线段交于点，垂直于轴的动直线分别交抛物线和线段于点和点，动直线在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿轴正方向移动到点． 求出二次函数和所在直线的表达式； 在动直线移动的过程中，试求使四边形为平行四边形的点的坐标； 连接，，在动直线移动的过程中，抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 三、中考集训 1.（2020·广东·中考真卷） 如图，抛物线与轴交于，两点，点，分别位于原点的左、右两侧，＝＝，过点的直线与轴正半轴和抛物线的交点分别为，，． （1）求，的值； （2）求直线的函数解析式； （3）点在抛物线的对称轴上且在轴下方，点在射线上．当与相似时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．   2.（2020·山东·中考真卷） 如图，抛物线＝与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接，，与抛物线的对称轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是第一象限内抛物线上的动点，连接，，当时，求点的坐标； （3）点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．   3.（2020·江苏·中考真卷） 在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二