热点专题　第3课时　利用导数研究函数的零点-2021老高考理科数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计微讲·微练（word）全国卷人教版

第3课时　利用导数研究函数的零点 函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围。高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现。处理函数零点的常用方法有以下两种： 1．直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，取值证明f (a)·f (b)<0，则函数f (x)在(a，b)内有唯一的。 2．分类讨论法：判断几个零点时，需先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f (a)·f (b)<0，则函数f (x)有多个零点。 类型一 判断、证明或讨论函数零点的个数 【例1】　(2019·全国Ⅰ卷)已知函数f (x)＝sinx－ln(1＋x)，f ′(x)为f (x)的导数。证明： (1)f ′(x)在区间存在唯一极大值点； (2)f (x)有且仅有2个零点。 证明　(1)设g(x)＝f ′(x)，则g(x)＝cosx－存在唯一极大值点。 存在唯一极大值点，即f ′(x)在单调递减，故g(x)在<0。所以g(x)在(－1，α)单调递增，在时，有唯一零点，设为α。则当x∈(－1，α)时，g′(x)>0；当x∈<0，可得g′(x)在时，g′(x)单调递减，而g′(0)>0，。当x∈＝－sinx＋， (2)f (x)的定义域为(－1，＋∞)。 ①当x∈(－1,0]时，由(1)知，f ′(x)在(－1,0)单调递增，而f ′(0)＝0，所以当x∈(－1,0)时，f ′(x)<0，故f (x)在(－1,0)单调递减，又f (0)＝0，从而x＝0是f (x)在(－1,0]的唯一零点。 ②当x∈没有零点。 时，f (x)>0。从而，f (x)在>0，所以当x∈＝1－ln单调递减。又f (0)＝0，f 时，f ′(x)<0。故f (x)在(0，β)单调递增，在，使得f ′(β)＝0，且当x∈(0，β)时，f ′(x)>0；当x∈<0，所以存在β∈单调递减，而f ′(0)＝0，f ′时，由(1)知，f ′(x)在(0，α)单调递增，在 ③当x∈有唯一零点。 >0，f (π)<0，所以f (x)在单调递减。而f 时，f ′(x)<0，所以f (x)在 ④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1，所以f (x)<0，从而f (x)在(π，＋∞)没有零点。综上，f (x)有且仅有2个零点。 利用导数研究方程根(函数零点)的一般方法 1．研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等。 2．根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置。 3．数形结合法分析问题，可以使问题的求解过程有一个清晰、直观的整体展现。 【变式训练】　(2020·河南安阳模拟)已知函数f (x)＝lnx－x2＋ax，a∈R。 (1)证明：lnx≤x－1； (2)若a≥1，讨论函数f (x)的零点个数。 解　(1)证明：令g(x)＝lnx－x＋1(x>0)，则g(1)＝0，g′(x)＝(x>0)，可得x∈(0,1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减。所以当x＝1时，函数g(x)取得极大值也即最大值，所以g(x)≤g(1)＝0，即lnx≤x－1。－1＝ (2)f ′(x)＝和区间(1,2a)上各有一个零点。综上可得：当a＝1时，函数f (x)只有一个零点x＝1；当a>1时，函数f (x)有两个零点。<0。所以函数f (x)在区间2－<0，f (2a)＝ln2a－2a2<2a－1－2a2＝－22－＝－＋－1－<＋－＝ln(负值舍去)，在(0，x0)上，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增，在(x0，＋∞)上，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减。所以f (x)max＝f (x0)。当a＝1时，x0＝1，f (x)max＝f (1)＝0，此时函数f (x)只有一个零点x＝1。当a>1时，f (1)＝a－1>0，f ＋ax0＋1＝0，解得x0＝，x>0。令－2x－2x＋a＝ 类型二 由函数零点的个数确定参数 【例2】　已知函数f (x)＝xex－a(lnx＋x)，a∈R。 (1)当a＝e时，求f (x)的单调区间； (2)若f (x)有两个零点，求实数a的取值范围。 解　(1)由题意得，函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝e时，f (x)＝xex－elnx－ex，则f ′(x)＝。所以函数f (x)在(0,1)上单调递减；在(1，＋∞)上单调递增。 (2)记t＝lnx＋x，则t＝lnx＋x在(0，＋∞)上单调递增，且t∈R。所以f (x)＝xex－a(lnx＋x)＝et－at＝g(t)。所以f (x)在x>0上有两个零点等价于g(t)＝et－at在t