热点专题　第2课时　利用导数研究恒成立问题-2021老高考理科数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计微讲·微练（word）全国卷人教版

第2课时　利用导数研究恒成立问题 恒成立问题与有解问题是高中数学的重要知识，其中不等式的恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查考生分析问题、解决问题的能力。一般作为压轴题出现，试题难度略大。 利用导数研究恒成立与有解问题 常用的方法有：一种先利用综合法，结合导函数的零点之间的大小关系的决定条件，确定分类讨论的标准，分类后，判断不同区间函数的单调性，得到最值，构造不等式求解；另外一种，直接通过导函数的式子，看出导函数值正负的分类标准，通常导函数为二次函数或者一次函数。 类型一 分离参数法求参数的取值范围 【例1】　已知函数f (x)＝lnx。 (1)求函数g(x)＝f (x＋1)－x的最大值； (2)若对任意x>0，不等式f (x)≤ax≤x2＋1恒成立，求实数a的取值范围。 解　(1)因为f (x)＝lnx，所以g(x)＝f (x＋1)－x＝ln(x＋1)－x，x>－1。所以g′(x)＝。当x∈(－1,0)时，g′(x)>0，所以g(x)在(－1,0)上单调递增；当x∈(0，＋∞)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减。所以g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝0。 －1＝ (2)因为对任意x>0，不等式f (x)≤ax≤x2＋1恒成立。所以。≥2，要使ax≤x2＋1恒成立，必须a≤2，所以满足条件的a的取值范围是。另一方面，当x>0时，x＋。要使f (x)≤ax恒成立，必须a≥，当x∈(0，e)时，h′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，所以h(x)≤，则h′(x)＝min。设h(x)＝max≤a≤在x>0上恒成立，进一步转化为 参数法来确定不等式f (x，λ)≥0(x∈D，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤 1．将参数与变量分离，化为f 1(λ)≥f 2(x)或f 1(λ)≤f 2(x)的形式。 2．求f 2(x)在x∈D时的最大值或最小值。 3．解不等式f 1(λ)≥f 2(x)max或f 1(λ)≤，得到λ的取值范围。 【变式训练】　已知函数f (x)＝恒成立，求实数k的取值范围。，如果当x≥1时，不等式f (x)≥ 解　因为x≥1，所以≥k， ⇔≥ 即只需要k≤min， 设g(x)＝， 所以g′(x)＝。因为x≥1，所以h′(x)≥0，所以h(x)在[1，＋∞)单调递增，所以h(x)≥h(1)＝1>0，所以g′(x)>0，所以g(x)在[1，＋∞)单调递增，所以g(x)min＝g(1)＝2，所以k≤2。＝令h(x)＝x－lnx(分子的符号无法直接判断，所以考虑再构造函数进行分析)，所以h′(x)＝1－＝ 类型二 等价转化法求参数范围 【例2】　函数f (x)＝x2－2ax＋lnx(a∈R)。 (1)若函数y＝f (x)在点(1，f (1))处的切线与直线2y＋1＝0垂直，求a的值； (2)若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立，求实数a的取值范围。 解　(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝2x－2a＋。 ＝－1，解得a＝＝(3－2a)·，f ′(1)＝3－2a，由题意f ′(1)· (2)不等式2xlnx≥－x2＋ax－3在区间(0，e]上恒成立等价于2lnx≥－x＋a－，则在区间(0,1)上，g′(x)<0，函数g(x)为减函数；在区间(1，e]上，g′(x)>0，函数g(x)为增函数。由题意知g(x)min＝g(1)＝1－a＋3≥0，得a≤4，所以实数a的取值范围是(－∞，4]。＝＝＋1－，则g′(x)＝，令g(x)＝2lnx＋x－a＋ 根据不等式恒成立求参数范围的关键是把不等式转化为函数，利用函数值与最值之间的数量关系确定参数满足的不等式，解不等式即得参数范围。 【变式训练】　(2020·重庆市七校联考)设函数f (x)＝，g(x)＝a(x2－1)－lnx(a∈R，e为自然对数的底数)。 － (1)证明：当x>1时，f (x)>0； (2)讨论g(x)的单调性； (3)若不等式f (x)<g(x)对x∈(1，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围。 解　(1)证明：f (x)＝，令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1，当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)在(1，＋∞)上单调递增，又s(1)＝0，所以s(x)>0，从而当x>1时，f (x)>0。 (2)g′(x)＝2ax－时，g′(x)>0，g(x)单调递增。 时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈。当x∈(x>0)，当a≤0时，g′(x)<0，g(x)在(0，＋∞)上单调递减，当a>0时，由g′(x)＝0得x＝＝ (3)由(1)知，当x>1时，f (x)>0。当a≤0，x>1时，g(x)＝a(x2－1)－lnx<0，故当