热点专题　第1课时　导数方法证明不等式-2021老高考理科数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计微讲·微练（word）全国卷人教版

第1课时　导数方法证明不等式 导数中的不等式证明经常被考查，常与函数的性质、函数的零点与极值、数列等相结合，虽然题目难度较大，但是解题方法多种多样，如构造函数法、放缩法等，针对不同的题目，灵活采用不同的解题方法，可以达到事半功倍的效果。 类型一 移项作差构造法证明不等式 【例1】　已知函数f (x)＝aex＋2x－1，其中e＝2.718 28…是自然对数的底数。 (1)讨论函数f (x)的单调性； (2)证明：对任意的a≥1，当x>0时，f (x)≥(x＋ae)x。 解　(1)由f (x)＝aex＋2x－1，得f ′(x)＝aex＋2。 ①当a≥0时，f ′(x)>0，函数f (x)在R上单调递增； ②当a<0时，由f ′(x)>0，解得x<ln上单调递减。 上单调递增，在上单调递减。综上所述，当a≥0时，函数f (x)在R上单调递增；当a<0时，f (x)在上单调递增，在，故f (x)在，由f ′(x)<0，解得x>ln (2)证明：对任意a≥1，当x>0时，f (x)≥(x＋ae)x⇔－e≥0，故f (x)≥(x＋ae)x。＋－－。当a≥1时，aex－x－1≥ex－x－1。令h(x)＝ex－x－1，则当x>0时，h′(x)＝ex－1。所以当x>0时，h(x)单调递增，h(x)>h(0)＝0。所以aex－x－1>0。所以当0<x<1时，g′(x)<0，当x＝1时，g′(x)＝0，当x>1时，g′(x)>0。所以g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝0，即－e，则g′(x)＝＋－－－e≥0。令g(x)＝＋－－ 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证。 【变式训练】　已知函数f (x)＝1－－bx，若曲线y＝f (x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直。 ＋，g(x)＝ (1)求a，b的值； (2)证明：当x≥1时，f (x)＋g(x)≥。 解　(1)因为f (x)＝1－－b。因为曲线y＝f (x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f ′(1)·g′(1)＝－1，所以g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1，解得a＝－1，b＝－1。 －－bx，所以g′(x)＝－＋，f ′(1)＝－1。因为g(x)＝，所以f ′(x)＝ (2)证明：由(1)知，g(x)＝－。＋x≥0，所以当x≥1时，f (x)＋g(x)≥－－≥h(1)＝0，即1－＋1>0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以＋＋1。因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1＝＋＋＋x(x≥1)，则h(1)＝0，h′(x)＝－－－＋x≥0。令h(x)＝1－－－⇔1－＋x，则f (x)＋g(x)≥＋ 类型二 隔离分析最值法 【例2】　(2020·长沙模拟)已知函数f (x)＝ex2－xlnx。求证：当x>0时，f (x)<xex＋。 证明　要证f (x)<xex＋，故原不等式成立。≥0。再令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex，易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0。因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以ex－ex<lnx＋＝0，所以lnx＋上单调递增，则h(x)min＝h上单调递减，在，易知h(x)在(x>0)，则h′(x)＝。令h(x)＝lnx＋，即ex－ex<lnx＋，只需证ex－lnx<ex＋ 若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标。 【变式训练】　已知f (x)＝xlnx。 (1)求函数f (x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx>。－ 解　(1)由f (x)＝xlnx，x>0，得f ′(x)＝lnx＋1，令f ′(x)＝0，得x＝时，f ′(x)>0，f (x)单调递增。 时，f ′(x)<0，f (x)单调递减，当x∈。当x∈ ①当0<t<； ＝－时，f (x)min＝f <t＋2，即0<t< ②当时，f (x)在[t，t＋2]上单调递增，f (x)min＝f (t)＝tlnt。 ≤t<t＋2，即t≥ 所以f (x)min＝ (2)证明：问题等价于证明xlnx>成立。－，两个等号不同时取到，所以对一切x∈(0，＋∞)都有lnx>－≥，当且仅当x＝1时取到。从而对一切x∈(0，＋∞)，xlnx≥－，由m′(x)<0得x>1时，m(x)为减函数，由m′(x)>0得0<x<1时，m(x)为增函