第二章 第四节　二次函数与幂函数-2021老高考理科数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计微讲·微练（word）全国卷人教版

第四节　二次函数与幂函数 内容要求 考题举例 考向规律 1.了解幂函数的概念 2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝) 的图象，了解它们的变化情况，y＝x 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质 2017·天津高考·T14(二次函数的零点) 2017·浙江高考·T5(二次函数的最值) 2016·全国Ⅰ卷·T3(幂函数的性质) 2015·天津高考·T8(二次函数的图象) 考情分析：以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度 核心素养：逻辑推理、直观想象 1．幂函数 (1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数。 (2)幂函数的图象比较： 2．二次函数 (1)解析式： 一般式：f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)。 顶点式：f (x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)。 两根式：f (x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)。 (2)图象与性质： 与二次函数有关的不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是 (3)a≥f (x)恒成立⇔a≥f (x)max，a≤f (x)恒成立⇔a≤f (x)min。 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)。 (1)函数y＝2x) 是幂函数。(×) (2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数。(√) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数。(×) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是。(×) 2．已知幂函数f (x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　) A.　　　　D．2 　　　　B．1　　　　C. 解析　因为f (x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1。又f (x)的图象过点。故选C。 ＝，所以k＋α＝1＋，所以α＝α＝，所以 答案　C 3．已知某二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为(　　) A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3 C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3 解析　由题意设所求函数的解析式为y＝－2(x－h)2＋k(a≠0)，因为顶点为(－1,3)，故y＝－2(x＋1)2＋3。故选D。 答案　D 4．函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值为________。 解析　函数y＝2x2－6x＋3＝2>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在区间[－1,1]上单调递减，所以ymin＝2－6＋3＝－1。 的图象的对称轴为直线x＝2－ 答案　－1 5．已知幂函数y＝f (x)的图象过点，则此函数的解析式为________；在区间________上递减。 解析　设y＝f (x)＝xα，因为图象过点) 在区间(0，＋∞)上递减。 ) ，由性质可知函数y＝x，则y＝x，代入解析式得α＝－ 答案　y＝x) 　(0，＋∞) 考点一 幂函数的图象与性质 【例1】　(1)幂函数y＝f (x)的图象过点(4,2)，则y＝f (x)的大致图象是(　　) 解析　设幂函数为y＝xα，因为y＝f (x)的图象过点(4,2)，所以2＝4α，解得α＝) 。C正确。 。所以y＝x 答案　C (2)若a＝) ，则a，b，c的大小关系是(　　) ) ，c＝) ，b＝ A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．b<a<c 解析　因为y＝x) ，所以b<a<c。 ) <c＝x是减函数，所以a＝) ，因为y＝) >b＝) 在第一象限内是增函数，所以a＝ 答案　D 1．对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域。根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定。 2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较。 【变式训练】　(1)已知点1)xb的图象上，则函数f (x)是(　　) 在幂函数f (x)＝ A．奇函数 B．偶函数 C．定义域内的减函数 D．定义域内的增函数 解析　由题意得a－1＝1，且＝ab，因此a＝2且b＝－1。故f (x)＝x－1是奇函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内不是单调函数。 答案　A (2)已知α∈＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝________。 ，若幂函数 解析　由题意知α可取－1,1,3。又y＝xα在(0，＋∞)上是减函数，所以α<0，取α＝－1。 答案　－1 考点二