第二章 第十一节　导数的简单应用-2021老高考理科数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计微讲·微练（word）全国卷人教版

第十一节　导数的简单应用 内容要求 考题举例 考向规律 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次) 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次) 3．会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题) 2019·全国Ⅰ卷·T20(函数的极值、零点) 2019·全国Ⅱ卷·T20(函数的单调性、零点) 2019·全国Ⅲ卷·T20(函数的单调性、最值) 2018·全国Ⅰ卷·T21(讨论函数的单调性、不等式证明) 2018·全国Ⅱ卷·T21(证明不等式、函数的零点) 2018·全国Ⅲ卷·T21(应用导数研究函数的最值) 考情分析：考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应用意识；题型以解答题为主，一般难度较大 核心素养：逻辑推理 1．函数的导数与单调性的关系 函数y＝f (x)在某个区间(a，b)内可导，则 (1)若f ′(x)＞0，则f (x)在这个区间内单调递增。 (2)若f ′(x)＜0，则f (x)在这个区间内单调递减。 (3)若f ′(x)＝0，则f (x)在这个区间内是常数函数。 2．函数的极值与导数 (1)函数的极小值 若函数y＝f (x)在点x＝a处的函数值f (a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f ′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f (a)叫做函数的极小值。 (2)函数的极大值 若函数y＝f (x)在点x＝b处的函数值f (b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f ′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f (b)叫做函数的极大值，极大值和极小值统称为极值。 3．函数的最值与导数 (1)函数f (x)在[a，b]上有最值的条件： 一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。 (2)求函数y＝f (x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为： ①求函数y＝f (x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 1．函数f (x)在区间(a，b)上递增，则f ′(x)≥0，“f ′(x)>0在(a，b)上成立”是“f (x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。 2．对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件。如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点。 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)。 (1)如果函数f (x)在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则在此区间内没有单调性。(√) (2)函数的极大值一定大于其极小值。(×) (3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值。(√) 2．函数f (x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 解析　函数f (x)＝(x－3)ex的导函数为f ′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex。由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x)>0时，函数f (x)单调 递增，此时由不等式f ′(x)＝(x－2)ex>0，解得x>2。 答案　D 3．已知函数y＝f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　如图，在区间(a，b)内，f ′(c)＝0，且在x＝c附近的左侧f ′(x)<0，右侧f ′(x)>0，所以在区间(a，b)内只有1个极小值点。故选A。 答案　A 4．函数f (x)＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________。 解析　f ′(x)＝6x2－4x，令f ′(x)＝0，得x＝0或x＝，f (2)＝8，所以函数f (x)＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是8。 ＝－。因为f (－1)＝－4，f (0)＝0，f 答案　8 5．已知f (x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________。 解析　f ′(x)＝3x2－a，由题意知f ′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在[1，＋∞)上恒成立，又x∈