第二章 第十节　变化率与导数、导数的计算-2021老高考理科数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计微讲·微练（word）全国卷人教版

第十节　变化率与导数、导数的计算 内容要求 考题举例 考向规律 1.了解导数概念的实际背景 2．理解导数的几何意义 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax＋b)的复合函数)的导数 2019·全国Ⅰ卷·T13(切线问题) 2019·全国Ⅱ卷·T20(函数的单调性、公切线问题) 2019·全国Ⅲ卷·T6(切线问题) 2018·全国Ⅰ卷·T5(切线问题) 2018·全国Ⅱ卷·T13(切线问题) 考情分析：导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型大多为选择题、填空题。若为解答题的第(1)问，难度较低，若为解答题第(2)问，则难度较高，多为公切线问题 核心素养：数学运算 1．导数的概念 (1)函数y＝f (x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率。 ＝ x＝x0，即f ′(x0)＝为函数y＝f (x)在x＝x0处的导数，记作f ′(x0)或y′ ＝ (2)导数的几何意义 函数f (x)在点x0处的导数f ′(x0)的几何意义是在曲线y＝f (x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)。相应地，切线方程为y－y0＝f ′(x0)·(x－x0)。 (3)函数f (x)的导函数 称函数f ′(x)＝为f (x)的导函数。 2．导数公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 (2)导数的运算法则 ①[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)。 ②[f (x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f (x)g′(x)。 ③(g(x)≠0)。 ′＝ (3)复合函数的导数 复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。 1．求导常见易错点：①公式(xn)′＝nxn－1与(ax)′＝axlna相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：，(cosx)′＝sinx。 ′＝ 2．f ′(x0)代表函数f (x)在x＝x0处的导数值；(f (x0))′是函数值f (x0)的导数，且(f (x0))′＝0。 3．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点。 4．函数y＝f (x)的导数f ′(x)反映了函数f (x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x)|反映了变化的快慢，|f ′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”。 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)。 (1)f ′(x0)是函数y＝f (x)在x＝x0附近的平均变化率。(×) (2)函数f (x)＝sin(－x)的导数f ′(x)＝cosx。(×) (3)求 f ′(x0)时，可先求f (x0)，再求f ′(x0)。(×) (4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点。(√) 2．下列求导运算正确的是(　　) A． B．(log2x)′＝′＝1＋ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cosx)′＝－2sinx 解析　；(3x)′＝3xln3；(x2cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx。故选B。 ′＝1－′＝x′＋ 答案　B 3．已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为，则(　　) A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1 解析　因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得 答案　D 4．函数f (x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为______，在x＝2处的导数为________。 解析　函数f (x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝3。因为f ′(x)＝2x，所以f (x)在x＝2处的导数为2×2＝4。 答案　3　4 5．曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________。 解析　y′＝aex＋(ax＋1)ex，则f ′(0)＝a＋1＝－2，所以a＝－3。 答案　－3 考点一 导数的运算 微考向1：根据求导法则求函数的导数 【例1】　求下列各函数的导数： (1)y＝x；(2)y＝tanx； (3)y＝2sin2－1；(4)y＝ln(1－2x)。 解　(1)先变形：y＝) 。 x′＝) ，再求导：y′＝x (2)先变形：y＝。 ＝′＝，再求导：y′＝ (3)先变形：y＝－cosx，再求