第二章 第十二节　定积分与微积分基本定理-2021老高考理科数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计微讲·微练（word）全国卷人教版

第十二节　定积分与微积分基本定理 内容要求 考题举例 考向规律 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念 2．了解微积分基本定理的含义 2015·天津高考·T11(求面积) 2015·福建高考·T8(定积分与概率的综合) 2014·陕西高考·T16(定积分的计算) 考情分析：近几年高考本部分内容没有出现，是高考的冷点内容 核心素养：数学运算、直观想象 1．定积分的定义 一般地，如果函数f (x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b，将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi－1，xi]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f (x)dx。 f (ξi)，当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x)在区间[a，b]上的定积分，记作f (ξi)Δx＝ 2．定积分的相关概念 在f (x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f (x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f (x)dx叫做被积式。 3．定积分的性质 (1)f (x)dx(k为常数)。 kf (x)dx＝k (2)f 2(x)dx。 f 1(x)dx±[f 1(x)±f 2(x)]dx＝ (3)f (x)dx(其中a<c<b)。 f (x)dx＋f (x)dx＝ 4．定积分的几何意义 如图： 设阴影部分面积为S。 (1)S＝f (x)dx。 (2)S＝－f (x)dx。 (3)S＝f (x)dx。 f (x)dx－ (4)S＝[f (x)－g(x)]dx。 g(x)dx＝f (x)dx－ 5．微积分基本定理 如果F′(x)＝f (x)，且f (x)在[a，b]上可积，则＝F(b)－F(a)。 f (x)dx＝F(x)，即f (x)dx＝F(b)－F(a)。其中F(x)叫做f (x)的一个原函数。可以把F(b)－F(a)记为F(x) 1．定积分应用的两条常用结论 (1)当曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值为负；当位于x轴上方的曲边梯形与位于x轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零。 (2)加速度对时间的积分为速度，速度对时间的积分是路程。 2．函数f (x)在闭区间[－a，a]上连续，则有 (1)若f (x)为偶函数，则f (x)dx。 f (x)dx＝2 (2)若f (x)为奇函数，则f (x)dx＝0。 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)。 (1)设函数y＝f (x)在区间[a，b]上连续，则f (t)dt。(√) f (x)dx＝ (2)若函数y＝f (x)在区间[a，b]上连续且恒正，则>0。(√) (3)若f (x)dx<0，那么由f (x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方。(×) (4)微积分基本定理中的F(x)是唯一的。(×) (5)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是(x2－x)dx。(×) 2．定积分|x|dx＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　＝1。故选A。xdx＝x2xdx＝2 (－x)dx＋|x|dx＝ 答案　A 3．曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据几何意义可得。 答案　π 考点一 定积分的计算　　 【例1】　(1)(sinx－cosx)dx＝________。 解析　cosxdx＝2。 sinxdx－(sinx－cosx)dx＝ 答案　2 (2)若f(x)＝f(x)dx为________。 ，则 解析　由y＝·π·22＝π。 ＝。所以是圆面积的，得(x－1)2＋y2＝4(y≥0)，表示以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x轴及其上方的部分，所以＝ 答案　π (3)设f(x)＝f(x)dx的值为________。 (e为自然对数的底数)，则 解析　因为f(x)＝。 ＋1＝dx＝x2dx＋f(x)dx＝，所以′＝x2，(lnx)′＝因为 答案　 应用微积分基本定理计算定积分的步骤 1．把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积、和或差。 2．把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分。 3．分别用求导公式找到一个相应的原函数。 4．利用微积分基本定理求出各个定积分的值。 5．计算原始定积分的值。 答案　2π＋1 考点二 利用定积分求平面图形的面积 【例2】　(1)若函数f(x)＝(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则图中阴影部分的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　C (2)已知曲线y＝，y＝2－x与x轴所围成的封闭图形的面积为S，则S＝________。 解析　由题意得，曲线