第二章 第三节　函数的奇偶性与周期性-2021老高考理科数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计微讲·微练（word）全国卷人教版

第三节　函数的奇偶性与周期性 内容要求 考题举例 考向规律 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 2019·全国Ⅱ卷·T14(函数的奇偶性) 2018·全国Ⅱ卷·T11(函数的奇偶性、周期性) 2017·全国Ⅰ卷·T5(函数的奇偶性、单调性) 2016·山东高考·T9(函数的奇偶性、周期性) 考情分析：以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以选择、填空题为主，中等偏上难度 核心素养：数学抽象 1．函数的奇偶性 奇偶性 条件 图象特点 偶函数 对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝f (x) 关于y轴对称 奇函数 对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (－x)＝－f (x) 关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f (x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f (x)，那么就称函数y＝f (x)为周期函数，称T为这个函数的周期。 (2)最小正周期：如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期。 1．一条规律 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称。函数的定义域 关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。 2．两个性质 (1)如果一个奇函数f (x)在原点处有定义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0；如果函数f (x)是偶函数，那么f (x)＝f (|x|)。 (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。 3．函数周期性常用的结论 对函数f (x)定义域内任一自变量的值x， (1)若f (x＋a)＝－f (x)，则T＝2a(a≠0)。 (2)若f (x＋a)＝，则T＝2a(a≠0)。 (3)若f (x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0)。 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)。 (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数。(×) (2)若函数f (x)为奇函数，则一定有f (0)＝0。(×) (3)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期。(√) (4)若函数y＝f (x＋b)是奇函数，则函数y＝f (x)的图象关于点(b,0)中心对称。(√) 2．下列函数为奇函数的是(　　) A．y＝ B．y＝ex C．y＝|x| D．y＝ex－e－x 解析　A，B选项中的函数为非奇非偶函数，C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数。故选D。 答案　D 3．若y＝f (x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f (x)图象上的是(　　) A．(a，－f (a)) B．(－a，－f (a)) C．(－a，－f (－a)) D．(a，f (－a)) 解析　因为(a，f (a))是函数y＝f (x)图象上的点，且y＝f (x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以点(－a，f (－a))，即(－a，－f (a))一定在y＝f (x)的图象上。 答案　B 4．已知f (x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________。 解析　因为f (x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝。 。又f (－x)＝f (x)，所以b＝0，所以a＋b＝ 答案　 5．设f (x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1,1)时，f (x)＝＝________。 则f 解析　因为f (x)是定义在R上的周期为2的函数，所以f 2＋2＝－1＋2＝1。 ＝－4×＝f ＝f 答案　1 考点一 函数奇偶性的判断 【例1】　判断下列函数的奇偶性： (1)f (x)＝； ＋ (2)f (x)＝。 解　(1)因为由得x＝±1，所以f (x)的定义域为{－1,1}。又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x)＝±f (－x)。所以f (x)既是奇函数又是偶函数。 (2)因为由。因为f (－x)＝－f (x)，所以f (x)是奇函数。＝＝得－2≤x≤2且x≠0。所以f (x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，所以f (x)＝ 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 1．定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域。 2．判断f (x)与f (－x)是否具有等量关系。在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x)＋f (－x)＝0(奇函数)或f (x)－f (－