第二章 第九节　函数模型及其应用-2021老高考理科数学【赢在微点】大一轮复习顶层设计微讲·微练（word）全国卷人教版

第九节　函数模型及其应用 内容要求 考题举例 考向规律 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等普遍使用的函数模型)在社会生活中的广泛应用 2019·全国Ⅰ卷·T4(传统数学文化) 2019·全国Ⅱ卷·T4(现代数学文化) 2018·浙江高考·T11(方程组的实际应用) 2017·全国Ⅲ卷·T3(用函数图象刻画变化过程) 2017·北京高考·T14(最值问题) 考情分析：考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，预计高考对本节考查将延续近几年的考查风格，各种题型均有可能，属中档题 核心素养：数学建模 1．三种函数模型性质比较 2.几种常见的函数模型 “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢。 1．判断下列说法是否正确(打“√”或“×”)。 (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利。(×) (2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大。(×) (3)不存在x0，使ax0<x<logax0。(×) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻。(×) 2．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是(　　) A．收入最高值与收入最低值的比是3∶1 B．结余最高的月份是7月 C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D．前6个月的平均收入为40万元 解析　由题图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3∶1，故A正确；由题图可知，7月份的结余最高，为80－20＝60(万元)，故B正确；由题图可知，1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确；由题图可知，前6个月的平均收入为×(40＋60＋30＋30＋50＋60)＝45(万元)，故D错误。 答案　D 3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)。1万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为(　　) A．36万件 B．18万件 C．22万件 D．9万件 解析　利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18万件时，L(x)有最大值。故选B。 答案　B 4．已知f (x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A．f (x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f (x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f (x) D．f (x)>h(x)>g(x) 解析　由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f (x)>h(x)。故选B。 答案　B 5．一个容器装有细砂a cm3，细砂从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细砂量为y＝ae－btcm3，经过8 min后发现容器内还有一半的细砂，则再经过________min，容器中的细砂只有开始时的八分之一。 解析　当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的细砂只有开始时的八分之一。 a，e－bt＝，容器中的细砂只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，所以e－8b＝ 答案　16 考点一 用函数图象的变化刻画变化过程 【例1】　某“跑团”为了解团队每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程(单位：千米)的数据。绘制了下面的折线图。 根据折线图，下列结论正确的是(　　) A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的平均里程数 B．月跑步平均里程逐月增加 C．月跑步平均里程高峰期大致在8月和9月 D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳 解析　由折线图知，月跑步平均里程的中位数为5月份对应的平均里程数，A错误；月跑步平均里程不是逐月增加的，B错误；月跑步平均里程高峰期大致在9月和10月，C错误。故选D。 答案　D 当根据题意不易建立函数模型时，根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况的选项，选择出符合实际情况的答案。 【变式训练】　汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三